Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für n Element N und x Element R mit x ungleich -1 seien
[mm] s_{n} [/mm] (x) := [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{x^ (k-1)}{(x^5 + 1)^k} [/mm] (oben steht hoch k- 1
und
q(x) := [mm] \bruch{x}{x^5 + 1} [/mm]
Zeigen Sie: Der Grenzwert s(x) := lim n gegen unendlich [mm] s_{n} [/mm] (x) existiert genau dann, wenn [mm] \vmat{ q(x) } [/mm] < 1 ist und in diesem Fall gilt:
s(x) = [mm] \bruch{1}{x^5 - x + 1} [/mm] |
Hallo habe die Lösung dieser Aufgabe, verstehe aber nicht welche Schritte vollzogen werden.
Kann mir bitte jemand erklären, wie man folgenden Term aufstellt:
sn (x) = [mm] \bruch{1}{x^5 + 1} (\bruch{1- (\bruch{x}{x^5+1}}^ {1-\bruch{x}{x^5 +1} })
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Mi 01.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp: geometrische Reihe.
Sei $q [mm] \not= [/mm] 1$
Dann gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}q^{k-1} [/mm] = [mm] \bruch{1-q^n}{1-q} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
Das lässt sich leicht mit Induktion beweisen.
Weiter gilt:
( [mm] \bruch{1-q^n}{1-q}) [/mm] ist konvergent [mm] \gdw [/mm] $|q|<1$.
In diesem Fall: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-q^n}{1-q} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
FRED
|
|
|
|
