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| Aufgabe | Formen Sie den Term um und berechnen Sie den Grenzwert.
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n})
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n}*(\wurzel{n+1}-\wurzel{n}))
[/mm]
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n^{2}-n}-n)
[/mm]
(Hinweis: Verwenden Sie eine binomische Formel.)
Beachten Sie: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{a+h_{n}} =\wurzel{a} [/mm] .
wenn ( [mm] h_{n} [/mm] ) eine Nulfolge ist. |
erstmal hallo an alle! weiss leider nicht wie ich da richtig vorgehen soll! könnte mir das einer ausführlich zeigen , bitteeee? ich weiss das das schnell gelöst werden kann, aber leider ahb ich grad keine ahnung!
Dankeschön im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 So 21.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Also...Grenzwerte berechnen, da stellt man sich vor, man würde für das n einen seeeehr seeehr großen Wert einsetzten, da n ja gegen Unendlich gehen soll.
Schauen wir uns die erste Aufgabe an:
[mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n}
[/mm]
Wenn n sehr groß wird, dann macht das +1 hinter dem n auch nichts mehr aus...n+1 geht also dann gegen n....
Es steht dann dort [mm] \wurzel{n}-\wurzel{n} [/mm] und das ist dann nunmal 0.
Also ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})=0
[/mm]
Ähnlich musst du bei den anderen Aufgaben vorgehene.
Bei der letzten Aufgabe kannst du eine binomische Formel anwenden....
Slaín,
Kroni
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Hallo.
Die obige Antwort ist sicher nicht die, die der Lehrer hören will, sondern:
zur 1.
Erweitere die Differenz:
[mm] (\wurzel{n+1}-\wurzel{n})=\br{(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}
[/mm]
Im Zähler ist die 3. Binomische Formel anzuwenden [mm] x^2-y^2=(x-y)(x+y)
[/mm]
bleibt nur noch 1 im Zähler übrig
also [mm] \br{1}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}
[/mm]
Nenner wird immer größer, geht gegen [mm] \infty [/mm] , also geht die Folge gegen Null
analog bei den anderen, probiere es mal
Tschüß und noch einen schönen Abend wünscht Röby
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 So 21.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Naja, es ist aber doch erlaubt, zu sagen, dass dann die 1 zu vernachlässigen sei und dann dort 0 herauskommt oder nicht?
Weil bisher habe ich das in der Schule auch meist so gesagt, und dann kam zwar die Anmerkung, dass man z.B. bei ganzrat. Funktionen den Zähler durch den Nenner kürzen kann, aber meine Argumenation ist doch auch zulässig, oder gilt diese als grob unmathematisch?
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Hallo.
> Naja, es ist aber doch erlaubt, zu sagen, dass dann die 1
> zu vernachlässigen sei und dann dort 0 herauskommt oder
> nicht?
Sicher, aber exakt ist es, wie ich es oben hingeschrieben habe.
> Weil bisher habe ich das in der Schule auch meist so
> gesagt, und dann kam zwar die Anmerkung, dass man z.B. bei
> ganzrat. Funktionen den Zähler durch den Nenner kürzen
> kann, aber meine Argumenation ist doch auch zulässig, oder
> gilt diese als grob unmathematisch?
Nein, natürlich nicht. Aber ein kleiner Formfehler, würde ich es nennen.
Tschüüß und noch einen schönen Abend
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danke ihr beiden für eure hilfe!
bloß wie sieht es mit der b) und c) aus? könnte ich davon auch die lösungen haben oder wäre da zu viel verlangt?
Gruß coldnloco
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b.
[mm] (\wurzel{n}*(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})) [/mm] = [mm] \br{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}
[/mm]
gegen 0,5
c.
[mm] (\wurzel{n^2-n}-n) [/mm] = [mm] \br{(\wurzel{n^2-n}-n)*(\wurzel{n^2-n}+n)}{\wurzel{n^2-n}+n} [/mm] = [mm] \br{-n}{\wurzel{n^2-n}+n}
[/mm]
gegen -0,5
tschüü
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