Grenzwert bei Folge mit Wurzel < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Mo 12.06.2006 | | Autor: | DLH350 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Folge [mm] (a_n) [/mm] : [mm] a_0 [/mm] = 1 und [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm] \wurzel{1 + a_n} [/mm].
Zeige dass [mm] (a_n) [/mm] konvergent ist und ermittle den entsprechenden Grenzwert. |
Hallo Leute,
ich bin neu in diesem Forum und muss ehrlich zugeben, dass der Profilkurs Mathe bei uns ziemlich schwer ist. Wir haben die oben zu sehende Aufgabe bekommen und sollen diese nun bearbeiten.
Ich weiß jedoch nicht so recht, wie man nun anfangen soll. Als erstes soll man ja die Konvergenz nachweisen. Habe mir die ersten Folgenglieder aufgeschrieben und erkannt, dass diese sich 1,62 annähern.
Desweiteren denke ich, dass vielleicht mit Hilfe der Monotonie und der Beschränktheit die Konvergenz nachgewiesen und ggf. ein Grenzwert bestimmt werden kann!?
Kann mir vielleicht jemand einige Tipps geben?
Wäre sehr dankbar!!!
Viele Grüße
Tom
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mo 12.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Tom
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sei die Folge [mm](a_n)[/mm] : [mm]a_0[/mm] = 1 und [mm]a_{n+1}[/mm] =
> [mm]\wurzel{1 + a_n} [/mm].
>
> Zeige dass [mm](a_n)[/mm] konvergent ist und ermittle den
> entsprechenden Grenzwert.
> Hallo Leute,
>
> ich bin neu in diesem Forum und muss ehrlich zugeben, dass
> der Profilkurs Mathe bei uns ziemlich schwer ist. Wir haben
> die oben zu sehende Aufgabe bekommen und sollen diese nun
> bearbeiten.
>
> Ich weiß jedoch nicht so recht, wie man nun anfangen soll.
> Als erstes soll man ja die Konvergenz nachweisen. Habe mir
> die ersten Folgenglieder aufgeschrieben und erkannt, dass
> diese sich 1,62 annähern.
>
> Desweiteren denke ich, dass vielleicht mit Hilfe der
> Monotonie und der Beschränktheit die Konvergenz
> nachgewiesen und ggf. ein Grenzwert bestimmt werden kann!?
Die ist schon mal gut.1. Beschränktheit, z.Bsp [mm] 1\le [/mm] an<2 ist leicht mit vollständiger Induktion zu beweisen, wenn du die kannst.
2. Monotonie, wenn die Quadrate größer 1 sind und monoton wachsen, dann auch die Wurzeln.
3. GW. falls der GW existiert muss für ihn gelten [mm] a=\wurzel{a+1} [/mm] quadrieren und auflösen der neg Wert kommt wegen an>1 nicht in Frage.
Ich hoff die Tips reichen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 12.06.2006 | | Autor: | DLH350 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Folge [mm](a_n)[/mm] : [mm] a_0[/mm] = 1 und [mm] a_{n+1} [/mm] =
[mm] \wurzel{1 + a_n} [/mm].
Zeige dass [mm] (a_n) [/mm] konvergent ist und ermittle den
entsprechenden Grenzwert. |
Danke für die schnelle Antwort!
Bisher haben wir bei vollständiger Induktion nur Reihen betrachtet...
Könnte mir jemand vielelicht beim Induktionsanfang für die vollständige Induktion zum Beweis der Beschränktheit behilflich sein?
zu zeigen: Für .... gilt: .....
Sei ...
Wäre für diesen letzten Tipp sehr Dankbar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mo 12.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Tom
Behauptung: [mm] 1\le a_{n}<2 [/mm] mit [mm] a_{0}=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1}
[/mm]
1. Induktionsanfang: richtig für [mm] a_{0} [/mm] denn [mm] 1\le [/mm] 1<2
2. Induktionsvoraussetzung: [mm] 1\le [/mm] an<2
3. Induktionsschritt : aus 2. folgt es gilt auch [mm] 1\le a_{n+1}<2
[/mm]
es gilt [mm] a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1}
die linke Seite ist noch leichter, also kannst du sie selbst. Wenn dein Lehrer sehr genau ist musst du noch sagen, dass die Wurzelfunktion monoton ist, dh aus a<b folgt [mm] \wurzel{a}
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Do 15.06.2006 | | Autor: | DLH350 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Folge [mm](a_n)[/mm] : [mm] a_0[/mm] = 1 und [mm] a_{n+1} [/mm] =
[mm] \wurzel{1 + a_n} [/mm].
Zeige dass [mm] (a_n) [/mm] konvergent ist und ermittle den
entsprechenden Grenzwert. |
ICh habe bis jetzt eigentlich alles sehr gut mitverfolgen können aber an einer Stelle blicke ich noch nicht ganz durch!
[mm] a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1}
oben steht doch [mm] a_{n+1}=
wie kann denn [mm] a_{n+1}
Müssten die nicht eigentlich gleich groß sein?
Soll ich dann quadrieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Do 15.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Tom
> Gegeben sei die Folge [mm](a_n)[/mm] : [mm]a_0[/mm] = 1 und [mm]a_{n+1}[/mm] =
> [mm]\wurzel{1 + a_n} [/mm].
>
> Zeige dass [mm](a_n)[/mm] konvergent ist und ermittle den
> entsprechenden Grenzwert.
> ICh habe bis jetzt eigentlich alles sehr gut mitverfolgen
> können aber an einer Stelle blicke ich noch nicht ganz
> durch!
Kannst du auch nicht, ich hab zu schnell mit cut und paste gearbeitet. nimm einfach den Unsinn raus!
> [mm]a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1}
Also richtig: [mm]a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1}<\wurzel{2+1}<2[/mm]
> Soll ich dann quadrieren?
würd ich nicht, sondern nur schreiben : das letzte < zeichen gilt weil 3<4 und damit [mm] \wurzel{3}<\wurzel{4}
[/mm]
nächster Schritt: Beh. [mm] 1\le [/mm] an. Das kannst du sicher.
monoton steigend ist hoffentlich auch leicht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Do 15.06.2006 | | Autor: | DLH350 |
Monontonie kann ich! Letzte Frage....
Wie kommst du auf die 2 unter der Wurzel bei [mm]a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1}<\wurzel{2+1}<2[/mm] ?
Definitiv die letzte Frage
Danke schon im voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Do 15.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo tom
> Monontonie kann ich! Letzte Frage....
>
> Wie kommst du auf die 2 unter der Wurzel bei
> [mm]a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1}<\wurzel{2+1}<2[/mm] ?
ich hab die Ind.vors an<2 eingesetzt! die muss man ja verwenden, sonst kann man sicher nix beweisen
> Definitiv die letzte Frage
Frag ruhig weiter, solang du unsicher bist
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 15.06.2006 | | Autor: | DLH350 |
wenn das mit dem Fragen so ist ^^.
Müsstest du dann in der Ind. vor. nicht schreiben, dass [mm]t $ 1\le a_{n}\le2 $[/mm], da du ja für [mm] a_n [/mm] = 2 einsetzt?
Reicht das für einen Beweis oder muss ich noch angeben warum ich 2 gewählt habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Do 15.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Tom > wenn das mit dem Fragen so ist ^^.
>
> Müsstest du dann in der Ind. vor. nicht schreiben, dass [mm] $ 1\le a_{n}\le2 $[/mm],
> da du ja für [mm]a_n[/mm] = 2 einsetzt?
Nein ich setze ja nicht an ein, sondern was was garantiert (laut Vors.) größer ist als an, deshalb schreib ich ja auch nicht was ja falsch wäre = sondern kleiner.
also: aus an<2 folgt 1+an<1+2
Gruss leduart
> Reicht das für einen Beweis oder muss ich noch angeben
> warum ich 2 gewählt habe?
Nein, denn du willst ja nur beschränkt beweisen! Man hat am Anfang, wenn man mit beschränkt umgeht immer das Gefühl man müsste eine möglichst kleine oder passend Schranke finden. Aber beschränkt heisst wirklich nur es gibt irgendeine Zahl, sodass alle an drunter bleiben. Du kannst also genausogut nur beweisen, dass an<2006 vielleicht ist das sogar lustiger.Und jeder weiss wie du grad darauf kommst.
Gruss leduart
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