Grenzwert Binomialverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Do 15.05.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Es sei X [mm] \sim [/mm] Bin(2m,0.5) eine binomialverteilte Zufallsvariable für ein m [mm] \in \IN.
[/mm]
Außerdem gilt [mm] \IP(X=m+k)=\bruch{(2m)!}{(m+k)!(m-k)!}*\bruch{1}{4^{m}}.
[/mm]
Wir setzten nun [mm] a(m,k):=\bruch{4^{m}}{\vektor{2m \\ m}} \IP(X=m+k), [/mm] für k=0,1,...,m.
Zeigen Sie, dass
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty} (a(m,k))^{m}=e^{-k^{2}} [/mm] |
Hi,
bräuchte leider einen Tipp..
Ich bin jetzt gekommen bis [mm] (\bruch{m!m!}{(m+k)!(m-k)!})^{m}
[/mm]
Nur wie koennte ich jetzt weiter bis [mm] (1-\bruch{k^{2}}{m})^{m} [/mm] kommen? Wüsste jetzt nicht so ganz, wie ich das auseinanderziehen könnte...
Würde mich über Tipps freuen!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Do 15.05.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin, ich weiss nicht ob es hilft:
[mm] $\bruch{m!m!}{(m+k)!(m-k)!}=\frac{(m-k+1)\cdot\ldots\cdot(m-1)\cdot m}{(m+k+1)\cdot\ldots\cdot(m+k-1)\dot(m+k)}$.
[/mm]
Zaehler und Nenner haben jeweils $k$ Faktoren...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Do 15.05.2014 | | Autor: | Topologe |
Super, ich glaube ich weiss worauf du hinaus willst!
[mm] (\bruch{(m-k+1)*...*(m-2)m}{(m+k+1)*...*(m+k-1)(m+k)})^{m}=(\bruch{m-k+1}{m+k+1})^{m}*...*(\bruch{m-1}{m+k-1})^{m}*(\bruch{m}{m+k})^{m}
[/mm]
Nun die einzelnen Brüche durch den jeweiligen Zähler dividieren und schon hat man das Ergebnis 
LG
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