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| Aufgabe | | Zeigen Sie, ausgehend von der Definition des Grenzwertes einer Funktion, dass die folgenden Funktionen [mm] f,g:\IR-\{0\}\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{5x^2+1}{x}, g(x)=\bruch{2x^2+1}{x} [/mm] keinen Grenzwert an der Stelle x=0 besitzen, die funktionen f-g, [mm] \bruch{f}{g} [/mm] und [mm] \bruch{g}{f} [/mm] jedoch schon. |
hallo,
die Definition ist
$ [mm] \forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta>0\ \forall 0<|x|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\epsilon [/mm] $.
Hier muss ich ja rechts- und linksseitige Grenzwerte betrachten, da 0 aus der Definitionsmenge ausgenommen wurde. Die Funktionen gehen für sehr kleine x gegen [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] , ergo muss ich zeigen, dass sie nicht beschränkt sind, also dass
[mm] \exists \epsilon \forall \delta \exists [/mm] x mit [mm] 0<|x|<\delta \Rightarrow [/mm] |f(x)|>M .
Nehme ich jetzt bsp [mm] f(x)=\bruch{5x^2+1}{x} [/mm] .
Wie schätze ich dann ab um das [mm] \epsilon [/mm] richtig zu wählen ?
Meine Idee war, das ganze gegen [mm] \bruch{1}{x} [/mm] abzuschätzen und dann [mm] \delta=\bruch{1}{M} [/mm] zu setzen, ginge das damit ? Wäre damit auch gezeigt, dass an der Stelle kein Grenzwert exisitiert ? Ich denke schon, oder ?
Ich komme durch das x im nenner nicht so recht dahinter.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Meine Idee war, das ganze gegen [mm]\bruch{1}{x}[/mm] abzuschätzen
> und dann [mm]\delta=\bruch{1}{M}[/mm] zu setzen, ginge das damit ?
Dem ertsen kann ich zustimmen - das zweite verstehe ich nicht. Es gilt doch [m]|1/x|\le <|f(x)|[/m]. Also kannst du die Divergenz für [m]1/x[/m] zeigen ...
SEcki
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