Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 So 06.09.2009 | | Autor: | Biene92 |
Hallo,
Ich habe ein Problem.
Ich soll einen Vortrag über Grenzwerte halten und dabei erklären was ein Grenzwert ist, aber ich versteh es nicht, ich habe auch schon im Internet nach einer Definition gesucht aber die versteh ich alle nicht.
Also kann mir bitte jemand erklären was ein Grenzwert ist?
Schon einmal danke im Voraus
Liebe Grüße
Biene92
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 So 06.09.2009 | | Autor: | cycore |
hallo biene,
vielleicht stellst du die definitionen/eine definition die du im internet gefunden hast hier mal vor (auch wenn du sie nur zitierst) und versuchst ein bisschen genauer zu beschreiben was du nicht verstehst?!?
das nutzt mehr als wenn hier jemand eine definition wiedergibt ohne zu wissen wo der knackpunkt ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 So 06.09.2009 | | Autor: | Biene92 |
Ich verstehe generell nicht was ein Grenzwert überhaupt ist und wozu er da ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 So 06.09.2009 | | Autor: | Tauti |
Hallo,
nach deinen Angaben hast du überhaupt keine Ahnung was ein Granzwert ist. Deswegen werde ich jetzt nicht die Definition angeben. Alles was ich will ist es, dir eine Vorstellung vom Begriff des Grenzwertes zu geben.
Wir betrachten mal beispielhaft die Zahlenfolge
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$, [/mm] $n [mm] \in [/mm] N$.
Die ersten folgeglieder lauten also
[mm] $a_1 [/mm] = 1$ [mm] $a_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ $a_3=\frac{1}{3}$ [/mm] usw...
Wie wir beobachten, nähern sich die Folgeglieder immer näher an die Null an. Das Folgeglied [mm] $a_{1000} [/mm] = 1/1000$ ist schon sehr nah an der Null. Und alle weiter folgenden Glieder werden noch näher an der Null sein.
Man spricht davon, daß die Zahlenfolge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen die Zahl Null konvergiert, in Zeichen: [mm] $a_n \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$. [/mm] Ein weiteres Beispiel ist die Zahlenfolge
[mm] $b_n [/mm] = [mm] 10-\frac{1}{n}$.
[/mm]
Diese Zahlenfolge konvergiert gegen 10. Diesen Effekt kann man mathematisch exakt definieren. Aber darüber sprechen wir vielleicht wenn du ein bisschen Gefühl für die Sache entwickelt hast.
Es gibt auch Zahlenfolgen die nicht konvergieren. Dazu betrachten wir
[mm] $c_n [/mm] = [mm] (-1)^n$.
[/mm]
Die Folge besteht also aus abwechselnd auftretenden minus Einsen und plus Einsen. Diese Zahlenfolge konvergiert gegen nicht, da es keine Zahl gibt, der sich die Folge immer mehr annähert.
Gruß
Tauti
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> Hallo,
> Ich habe ein Problem.
> Ich soll einen Vortrag über Grenzwerte halten und dabei
> erklären was ein Grenzwert ist, aber ich versteh es nicht,
> ich habe auch schon im Internet nach einer Definition
> gesucht aber die versteh ich alle nicht.
> Also kann mir bitte jemand erklären was ein Grenzwert
> ist?
>
> Schon einmal danke im Voraus
> Liebe Grüße
> Biene92
Hallo Biene,
man darf aber doch wohl annehmen, dass der Begriff
wenigstens ein Stück weit schon behandelt worden
ist - oder wird von dir erwartet, dass du die Klasse
auf ein Thema einstimmen sollst, das erst nachher
drankommen soll ?
Gut wäre noch zu wissen, ob es um Grenzwerte
bei Zahlenfolgen oder bei beliebigen Funktionen
gehen soll.
Nur einmal der einfachste Fall einer Zahlenfolge,
die aus unendlich vielen Gliedern [mm] a_1, a_2, a_3, a_4,\,.....
[/mm]
besteht. Nehmen wir ein konkretes Beispiel:
[mm] a_n=\frac{3\,n-8}{5\,n+1}
[/mm]
Setzt man in die Formel die Werte n=1 bis n=7 ein, so
erhält man den Anfang der Zahlenfolge:
$\ [mm] -\,\frac{5}{6}\ [/mm] ,\ [mm] -\,\frac{2}{11}\ [/mm] ,\ [mm] \frac{1}{16}\ [/mm] ,\ [mm] \frac{4}{21}\ [/mm] ,\ [mm] \frac{7}{26}\ [/mm] ,\ [mm] \frac{10}{31}\ [/mm] ,\ [mm] \frac{13}{36}\ [/mm] ,\ [mm] \,......$
[/mm]
Das sieht ziemlich chaotisch und unübersichtlich aus.
Setzen wir aber einmal für n recht grosse Zahlenwerte
ein und schreiben die Glieder dezimal, so sieht man:
$\ [mm] a_{10}\ \approx\ [/mm] 0.431373$
$\ [mm] a_{100}\ \approx\ [/mm] 0.582834$
$\ [mm] a_{1000}\ \approx\ [/mm] 0.598280$
$\ [mm] a_{10000}\ \approx\ [/mm] 0.599828$
$\ [mm] a_{100000}\ \approx\ [/mm] 0.599983$
$\ [mm] a_{100000}\ \approx\ [/mm] 0.599998$
Mit noch deutlich grösseren n-Werten liefert der
Rechner schließlich einfach den Wert 0.6, obwohl
dies eigentlich gar nicht exakt stimmen kann.
Da der Rechner nur etwa ein Dutzend Dezimalen
berücksichtigen kann, müssen Werte, die sehr
nahe bei 0.6 liegen, schließlich auf
0.6 = 0.6000000... gerundet werden.
Diese Zahlenfolge hat offenbar die Eigenschaft,
dass ihre Glieder mit sehr grossen Nummern n
sehr nahe bei 0.6 liegen. Tatsächlich kommen die
Glieder der Folge der Zahl 0.6 beliebig nahe, wenn
man nur die Nummer n genügend gross wählt.
Die Zahl 0.6 spielt also für diese Zahlenfolge eine
wichtige Rolle. Man nennt die Zahl 0.6 "Grenzwert"
der Folge und schreibt dafür:
[mm] $\limes_{n\to\infty}a_n\ [/mm] =\ 0.6$
Grenzwerte dieser und anderer Arten spielen in
vielen Bereichen der Mathematik eine wichtige
Rolle. Nur ein kleines Beispiel: alle irrationalen
Zahlen kann man eigentlich nur durch Grenz-
werte erfassen. Das fängt schon bei Quadratwurzeln
wie [mm] \sqrt{2} [/mm] oder [mm] \sqrt{5} [/mm] an, über trigonome-
trische Zahlenwerte wie sin(20°), cos(1°), tan(76°)
zu Exponentialfunktions- und Logarithmuswerten
wie die eulersche Zahl [mm] e=e^1 [/mm] , [mm] e^{-3}, [/mm] ln(2), log(31) etc.
Ich hoffe nur, dass du den Vortrag nicht schon in
den allernächsten Tagen halten musst ...
LG Al-Chw.
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