Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mi 04.03.2009 | | Autor: | jos3n |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{n!} [/mm] |
kann man das math. beweisen? durch kürzen von einem n oder so?
Ich würde mal so behaupten, das geht gegen unendlich, da der zähler schneller "wächst" als der nenner.
danke im vorraus
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Hallo jos3n!
Entweder wendest Du für die Fakultät die ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel an, oder Du zerlegest den Bruch wie folgt:
[mm] $$\bruch{n^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{n*n*n*...*n}^{= \ n \ \text{Faktoren}}}{\underbrace{1*2*3*...*n}_{= \ n \ \text{Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{n}{1}*\bruch{n}{2}*\bruch{n}{3}*...*\bruch{n}{n}}_{= \ n \ \text{Faktoren}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mi 04.03.2009 | | Autor: | jos3n |
und von den n-brüchen ist jeder [mm] \ge [/mm] 1 und daher gehts gegen unendlich, so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Mi 04.03.2009 | | Autor: | glie |
> und von den n-brüchen ist jeder [mm]\ge[/mm] 1 und daher gehts gegen
> unendlich, so?
Also dass das Ding gegen unendlich geht ist klar, aber diese Argumentation darfst du nicht verwenden!
Schau dir meine andere Antwort an.
Ein Gegenbeispiel zu deiner Argumentation:
[mm] \left( \bruch{n+1}{n} \right)^n
[/mm]
Das ist ebenfalls ein Produkt aus n Brüchen, von denen jeder einzelne Bruch größer als 1 ist...aber
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left(\bruch{n+1}{n} \right)^n [/mm]
ergibt einen ganz berühmten Grenzwert....den kennst du, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mi 04.03.2009 | | Autor: | glie |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{n!}[/mm]
> kann man das
> math. beweisen? durch kürzen von einem n oder so?
> Ich würde mal so behaupten, das geht gegen unendlich, da
> der zähler schneller "wächst" als der nenner.
>
> danke im vorraus
Hallo,
du könntest folgende Abschätzung machen:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \bruch{n^n}{n!}=\bruch{n}{n}*\bruch{n}{n-1}*...*\bruch{n}{2}*\bruch{n}{1} \ge [/mm] n
Gruß Glie
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