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Hallo,
habe den [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0-}(1+sin(x))^\(\bruch{1}{x} [/mm] zuberechnen.
Laut T Rechner kommt e heraus.
Aber habe keine IDEE warum ? HILFEEE
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Hallo tunetemptation,
es ist [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$ [/mm] für $a>0$
Schreibe also [mm] $(1+\sin(x))^{\frac{1}{x}}$ [/mm] um in [mm] $e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln(1+\sin(x))}$
[/mm]
Wegen der Stetigkeit der e-Funktion ist [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}$
[/mm]
Greife dir also den Exponenten heraus und untersuche seinen Limes für [mm] $x\to [/mm] 0^-$
Untersuche also [mm] $\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{ln(1+\sin(x))}{x}$
[/mm]
Das gibt bei direktem Grenzübergang den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Also ran mit de l'Hôpital.
Nachher nicht vergessen, [mm] $e^{GW}$ [/mm] zu nehmen!
LG
schachuzipus
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