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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Mi 09.01.2008
Autor: gandhi8

Aufgabe
Muss den Grenzwert berechen:

[mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}-x^{\beta}}{x^{\bruch{1}{\beta}}-x^{\bruch{1}{\alpha}}} [/mm]

habs mit l’Hôpital versucht:

[mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}-x^{\beta}}{x^{\bruch{1}{\beta}}-x^{\bruch{1}{\alpha}}} [/mm] = (l’Hôpital) [mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}*\bruch{\alpha}{x}-x^{\beta}*\bruch{\beta}{x}}{x^{\bruch{1}{\beta}} *\bruch{1}{\beta*x}-x^{\bruch{1}{\alpha}}*\bruch{1}{\alpha*x}} [/mm]


l’Hôpital  hilft mir auch nicht weiter.
laut mein Matheprogramm sollte da a*b rauskommen, was ich aber mit l’Hôpital  nicht erhalte. Habe ich mich irgendwo verrechnet oder muss ich noch mal Zähler und Nenner getrennt ableiten?

Danke


        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Mi 09.01.2008
Autor: schachuzipus

Hallo gandhi,

> Muss den Grenzwert berechen:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}-x^{\beta}}{x^{\bruch{1}{\beta}}-x^{\bruch{1}{\alpha}}}[/mm]
>  
> habs mit l’Hôpital versucht: [ok]

gute Idee ;-)

>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}-x^{\beta}}{x^{\bruch{1}{\beta}}-x^{\bruch{1}{\alpha}}}[/mm]
> = (l’Hôpital) [mm]\limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}*\bruch{\alpha}{x}-x^{\beta}*\bruch{\beta}{x}}{x^{\bruch{1}{\beta}} *\bruch{1}{\beta*x}-x^{\bruch{1}{\alpha}}*\bruch{1}{\alpha*x}}[/mm]

Mich deucht, du hast Zähler und Nenner nicht richtig abgeleitet:

[mm] $Z=x^{\alpha}-x^{\beta}\Rightarrow Z'=\alpha\cdot{}x^{\alpha-1}-\beta\cdot{}x^{\beta-1}$ [/mm]

[mm] $N=x^{\frac{1}{\beta}}-x^{\frac{1}{\alpha}}\Rightarrow N'=\frac{1}{\beta}\cdot{}x^{\frac{1}{\beta}-1}-\frac{1}{\alpha}\cdot{}x^{\frac{1}{\alpha}-1}$ [/mm]

Das nun wieder zusammensetzen und schauen, wogegen das für [mm] $x\to [/mm] 1$ strebt


Gruß

schachuzipus

> l’Hôpital  hilft mir auch nicht weiter.
>  laut mein Matheprogramm sollte da a*b rauskommen, was ich
> aber mit l’Hôpital  nicht erhalte. Habe ich mich irgendwo
> verrechnet oder muss ich noch mal Zähler und Nenner
> getrennt ableiten?

Ja, ganz genau, du musst Z und N getrennt ableiten, daran lag's wohl ;-)

>  
> Danke
>  
>  

Jo, Gruß

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:02 Sa 12.01.2008
Autor: gandhi8

Hallo schachuzipus ,

> [mm]Z=x^{\alpha}-x^{\beta}\Rightarrow Z'=\alpha\cdot{}x^{\alpha-1}-\beta\cdot{}x^{\beta-1}[/mm]
>  
> [mm]N=x^{\frac{1}{\beta}}-x^{\frac{1}{\alpha}}\Rightarrow N'=\frac{1}{\beta}\cdot{}x^{\frac{1}{\beta}-1}-\frac{1}{\alpha}\cdot{}x^{\frac{1}{\alpha}-1}[/mm]

Ich hatte es auch zuerst so gehabt, nur hab mich irgendwo verrechnet gehabt, deshalb habe ich versucht Zaähler und Nenner auf eine andere Weis abzuleiten.

> > [mm]\limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}-x^{\beta}}{x^{\bruch{1}{\beta}}-x^{\bruch{1}{\alpha}}}[/mm]
> > = (l’Hôpital) [mm]\limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}*\bruch{\alpha}{x}-x^{\beta}*\bruch{\beta}{x}}{x^{\bruch{1}{\beta}} *\bruch{1}{\beta*x}-x^{\bruch{1}{\alpha}}*\bruch{1}{\alpha*x}}[/mm]
>  
> Mich deucht, du hast Zähler und Nenner nicht richtig
> abgeleitet:

Wenn ich mich nicht irre, stimmt die Ableitung schon, den:

[mm] x^{a} [/mm] = [mm] e^{a*lnx} [/mm]
[mm] (x^{a})' [/mm] = [mm] x^{a} \bruch{a}{x} [/mm]


[mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}-x^{\beta}}{x^{\bruch{1}{\beta}}-x^{\bruch{1}{\alpha}}} [/mm] = (l’Hôpital) [mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}*\bruch{\alpha}{x}-x^{\beta}*\bruch{\beta}{x}}{x^{\bruch{1}{\beta}} *\bruch{1}{\beta*x}-x^{\bruch{1}{\alpha}}*\bruch{1}{\alpha*x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{a-b}{\bruch{1}{b}-\bruch{1}{a}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{a-b}{\bruch{a-b}{ab}} [/mm] = ab

Gruß
gandhi


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: zur Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:56 Mo 14.01.2008
Autor: Loddar

Hallo gandhi!


Deine Ableitungen zu [mm] $x^a$ [/mm] hast Du schon richtig ermittelt; allerdings sehr umständlich.

Viel schneller geht es mit der MBPotenzregel:
[mm] $$\left( \ x^a \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] a*x^{a-1}$$ [/mm]

Gruß
Loddar

Bezug
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