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Guten abend zusammen.
Ich habe mal eine Frage. und zwar habe ich die Folge [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x-2}{x+cos(2x)}. [/mm] Ich wollte diese Folge nach den ganz normalen Regeln untersuchen. Doch man sagte mir, dass das falsch wär wie ich das machen wollte. Wie muss man denn an solche Aufgaben rangehen? Ich hätte rausbekommen [mm] \bruch{\infty}{\infty}. [/mm] Das wäre ja 1 aber das ist scheinbar falsch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dodov!
Entweder gehst Du hier mit dem  Grenzwertsatz nach de l'Hospital vor, oder Du klammerst in Zähler und Nenner jeweils $x_$ aus, kürzt und verwendest [mm] $\left|\cos(2x)\right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$ .
Gruß
Loddar
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Gut ich probier das mal mit der L'hospital Regel, da ich denke, dass mir diese in anderen Aufgaben nur noch weiterhelfen kann (früh übt sich  ).
Also Ich habe die 2. Regel:
[mm] \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
ich mache aus [mm] \bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
Also folgt aus
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x-2}{x+cos(2x)}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{1-sin(2x)*2}.
[/mm]
Die Folge ist konvergent gegen Null. Auf den ersten Blick. Denn ab einer bestimmten Zahl ist selbst der Sinus nicht mehr definiert. Liege ich damit richtig oder falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mi 21.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \bruch{\infty}{\infty}=1 [/mm] ist nicht nur scheinbar falsch, sodern grässlich falsch sieh dir die Folgen [mm] n^2/n n/n^2 [/mm] und 5n/n an lass n gegen unendlich gehen, du hast immer [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] obwohl die 3 GW ja doch in Wirklichkeit sehr verschieden sind!
> Gut ich probier das mal mit der L'hospital Regel, da ich
> denke, dass mir diese in anderen Aufgaben nur noch
> weiterhelfen kann (früh übt sich ).
> Also Ich habe die 2. Regel:
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm]
> ich mache aus [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
dieses = Zeichen ist schrecklich!
> Also folgt aus
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x-2}{x+cos(2x)}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{1-sin(2x)*2}.[/mm]
> Die Folge ist konvergent gegen Null. Auf den ersten Blick.
wieso gerade gegen 0 selbst wenn du nicht weisst, was sin(1000000000) ist, solltest du wissen, dass es keinen Grund gibt, dass es riesig wird.
dies Folge ist divergent. sinx ist natürlich für beliebig große x definiert und wackelt auch da noch zwischen +1 und -1 rum!
Damit ist L'Hopital hier nichts wert. denn L'Hopital sagt nur WENN f'/g' konvergiert, dann auch f/g gegen denselben Wert. die Umkehrung gilt NICHT!
Also versuch den zweiten Weg, den dir Loddar beschrieben hat!
> Denn ab einer bestimmten Zahl ist selbst der Sinus nicht
> mehr definiert. Liege ich damit richtig oder falsch?
Sehr falsch!
Gruss leduart
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Okay!
Ich hatte da noch einen Thread zu Grenzwerte aber leider keine Antwort bekommen (soll kein Vorwurf sein). Dort ging es um die Folge:
[mm] a_n=e^ (^\alpha^+^i^)^n [/mm] bzw. [mm] a_n=e^i^ (^\alpha^+^n^), [/mm] wobei [mm] \alpha\in\IR, \alpha<0. [/mm] Das ist ja die Eulerfolge. Wir sollten entscheiden ob diese konvergent ist. Ich sage nein, da auch diese zwischen den Werten 1 und -1 rumwackelt.
Zurück zum eigentlichen Thema. Nachdem die Regel von L'hospital scheinbar umsonst war probier ich das nun mit der 2. Möglichkeit. Ich denke mal das gilt dann für folgende Folgen:
für mein schon genanntes Bsp.:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x-2}{x+cos(2x)}
[/mm]
und für folgendes Bsp.:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^x+e^-^x}{e^x-e^-^x}
[/mm]
im 1. Bsp. könnte ich x in Zähler und Nenner ausklammern und kürzen.
im 2. Bsp. könnte ich [mm] e^x [/mm] in Zähler und Nenner ausklammern und kürzen.
Ich hätte dann jeweils:
1. [mm] Bsp.:\bruch{-2}{cos(2x)}
[/mm]
2. [mm] Bsp.:\bruch{\bruch{1}{e^x}}{-\bruch{1}{e^x}}
[/mm]
Dann soll ich eine Ungleichung daraus machen aber worauf muss ich dann dort genau achten?
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Nagut ich denke über diese beiden Folgen nochmal genauer nach bzw. frag meine Tutorin. Ich habe jetzt noch die Folge:
[mm] \bruch{4x^3-2x^2}{3x^2+2x}
[/mm]
Diese kann ich doch nach der Regel von L'hospital (der 1. Regel) solange durchführen, bis ich [mm] \bruch{0}{2}=0 [/mm] herausbekomme oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Nagut ich denke über diese beiden Folgen nochmal genauer
> nach bzw. frag meine Tutorin. Ich habe jetzt noch die
> Folge:
> [mm]\bruch{4x^3-2x^2}{3x^2+2x}[/mm]
> Diese kann ich doch nach der Regel von L'hospital (der 1.
> Regel) solange durchführen, bis ich [mm]\bruch{0}{2}=0[/mm]
> herausbekomme oder?
Nein, weil Du nach l'Hospital nie [mm] $\frac{0}{2}$ [/mm] bekommen wirst. Ein einfacher Blick auf den Bruch zeigt, daß das Polynom im Zähler höheren Grad hat als das im Nenner. Die dritte Ableitung des Nenners ist null, aber erst die vierte des Zählers. =)
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Mein Fehler ich hätte natürlich noch [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{4x^3-2x^2}{3x^2+2x} [/mm] angeben müssen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Mein Fehler ich hätte natürlich noch
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{4x^3-2x^2}{3x^2+2x}[/mm] angeben
> müssen.
Dann paßt's. =)
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