Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Di 10.07.2007 | | Autor: | clover84 |
| Aufgabe | Gesucht ist der Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n} \bruch{n}{n^{2}+k^{2}}
[/mm]
Hinweis: Wegen [mm] \bruch{n}{n^{2}+k^{2}}=\bruch{1}{1+(\bruch{k}{n})^{2}}\cdot\bruch{1}{n} [/mm] kann man die Summe als spezielle Riemannsche Zerlegungssumme eines auswertbaren bestimmten Integrals auffassen.
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Hallo,
ich weiß leider nicht so recht, ob mein Lösungsweg zu der geg. Aufgabe richtig ist. Könnte sich bitte jemand mal den Beweis ansehen.
Durch Verwendung des Hinweises gilt zunächst:
[mm] S_{n}=\summe_{k=1}^{n} \bruch{n}{n^{2}+k^{2}}=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{1+x_{k}^{2}}\cdot\bruch{1}{n}, [/mm] wobei [mm] x_{k}=\bruch{k}{n}.
[/mm]
Insbeondere gilt
[mm] x_{1}=\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] x_{n}=1.
[/mm]
Also ist [mm] S_{n} [/mm] die Zerlegungssumme von
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x^{2}}}dx=arctanx
[/mm]
Ist der Lösungsweg richtig??
Vielen Dank im voraus für eure Hilfe.
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> Gesucht ist der Grenzwert:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n} \bruch{n}{n^{2}+k^{2}}[/mm]
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> Hinweis: Wegen
> [mm]\bruch{n}{n^{2}+k^{2}}=\bruch{1}{1+(\bruch{k}{n})^{2}}\cdot\bruch{1}{n}[/mm]
> kann man die Summe als spezielle Riemannsche
> Zerlegungssumme eines auswertbaren bestimmten Integrals
> auffassen.
>
> Hallo,
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> ich weiß leider nicht so recht, ob mein Lösungsweg zu der
> geg. Aufgabe richtig ist. Könnte sich bitte jemand mal den
> Beweis ansehen.
>
> Durch Verwendung des Hinweises gilt zunächst:
>
> [mm]S_{n}=\summe_{k=1}^{n} \bruch{n}{n^{2}+k^{2}}=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{1+x_{k}^{2}}\cdot\bruch{1}{n},[/mm]
> wobei [mm]x_{k}=\bruch{k}{n}.[/mm]
>
> Insbeondere gilt
>
> [mm]x_{1}=\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]x_{n}=1.[/mm]
>
> Also ist [mm]S_{n}[/mm] die Zerlegungssumme von
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x^{2}}}dx=\red{arctanx}[/mm]
>
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> Ist der Lösungsweg richtig??
Mir scheint Dein Lösungsweg durchaus richtig. Nur das Ergebnis gefällt mir nicht so recht. Du hättest schreiben sollen:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n} \bruch{n}{n^{2}+k^{2}}=\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\, dx=\red{\frac{\pi}{4}}[/mm]
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