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| Aufgabe | Bestimme folgenden Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{k}}{a^{n}}
[/mm]
k N, a>1 , Ab welchem n ist die Folge monoton fallend ? |
Nabend...
die obere Aufgabe bin ich angegangen mit [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|
[/mm]
bin dann bis hierhin gekommen :
[mm] \bruch{1}{a}*(1+\bruch{1}{n})^{k}
[/mm]
wie geht's jetzt...weiter ?
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Hallo MacChevap!
Um die fallende Monotonie zu zeigen, musst Du nachweisen, dass gilt:
[mm] $a_{n+1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n$ $\gdw$ $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$
Deine ersten Umfomungen waren also schon richtig. Du musst nunmehr folgende Ungleichung nach $n \ [mm] \ge [/mm] \ ...$ umstellen:
[mm]\bruch{1}{a}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{k} \ \red{\le \ 1}[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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