Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Do 23.11.2006 | | Autor: | darwin |
| Aufgabe | Hallo,
Man berechne im Falle seiner Existenz den folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] |
Da der Nenner recht schell größer wird, gehe ich davon aus, das der
Grenzwert 0 ist, aber wie Berechne ich das.
MfG
darwin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Do 23.11.2006 | | Autor: | Brumm |
Hallo !
$ [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] $
Es gilt : $n! = [mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] k$ und [mm] $n^n [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] n$
Also ist [mm] $\bruch{n!}{n^n} [/mm] = [mm] \prod_{k=1}^{n} \bruch{k}{n} \le \bruch{1}{n}$
[/mm]
Insgesamt: $0 [mm] \le \bruch{n!}{n^n} \le \bruch{1}{n}$
[/mm]
Und da $0 [mm] \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{n} \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$ [/mm] folgt die Behauptung.
Liebe Grüße,
Brumm
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