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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:17 So 13.09.2020
Autor: rubi

Aufgabe
Berechne
a) [mm] lim_{(v,w)^T \to (0,0)} \bruch{vw}{cos(v)-1} [/mm]
b) [mm] lim_{(c,d)^T \to (0,0)} \bruch{cos(c-d)-1}{c^2+d^2} [/mm]

Hallo zusammen,

ich habe hier 2 Grenzwertaufgaben, die vermutlich mit derselben Idee gelöst werden müssen.
Es entsteht der Fall 0/0, bei dem ich mit 1 Variable mit l'Hospital zum Ziel kommen würde.
Bei cos kann ich ja nichts ausklammern und den Bruch kürzen.
Meine Idee war, den cos als Taylorreihe zu schreiben, komme aber dann bei a) zu einem Term der Bauart [mm] \bruch{w}{v/2+v^3/24-v^5/720+...} [/mm] bei dem ich auch nicht weiterkomme.

Kann mir jemand von euch einen Hinweis geben ?

Danke für eure Antworten.

Grüße
Rubi

        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 So 13.09.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> ich habe hier 2 Grenzwertaufgaben, die vermutlich mit
> derselben Idee gelöst werden müssen.

"Müssen" ist so eine Sache.

> Meine Idee war, den cos als Taylorreihe zu schreiben, komme
> aber dann bei a) zu einem Term der Bauart
> [mm]\bruch{w}{v/2+v^3/24-v^5/720+...}[/mm] bei dem ich auch nicht weiterkomme.

Betrachte nun Folgen der Form [mm] $(w_n,v_n) [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)$. [/mm]

Für die b) betrachte doch mal Folgen der Form [mm] (c_n,d_n) [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{n},0\right) [/mm]

Gruß,
Gono



Bezug
        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 So 13.09.2020
Autor: HJKweseleit

Nach meinem Verständnis existiert der Limes nur, wenn er unabhängig vom Weg verläuft, der nach (0,0) führt.


>  a) [mm]lim_{(v,w)^T \to (0,0)} \bruch{vw}{cos(v)-1}[/mm]

1. Fall: w = 0, v [mm] \ne [/mm] 0, (v,0)--->(0,0)
[mm]lim_{(v,0)^T \to (0,0)} \bruch{vw}{cos(v)-1}[/mm]  =[mm]lim_{v \to 0} \bruch{v*0}{cos(v)-1}[/mm] = [mm]lim_{v \to 0} \bruch{0}{cos(v)-1}[/mm] = [mm]lim_{v \to 0} 0[/mm]= 0

2. Fall: w = v, v [mm] \ne [/mm] 0, (v,v)--->(0,0)
[mm]lim_{(v,v)^T \to (0,0)} \bruch{vw}{cos(v)-1}[/mm]  =[mm]lim_{v \to 0} \bruch{v^2}{cos(v)-1}[/mm] = [mm]lim_{v \to 0} \bruch{2v}{-sin(v)}[/mm]= [mm]lim_{v \to 0} \bruch{2}{-cos(v)}[/mm] =[mm]lim_{v \to 0} \bruch{2}{-1}[/mm]= -2

Fazit: Der Grenzwert existiert nicht.

Verfahre bei b) ähnlich: Zuerst c=0, d variabel, dann umgekehrt, dann c=d.



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