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| Aufgabe | Sei [mm] $Q_{\varepsilon}$ [/mm] eine Partition des [mm] $\mathbbm{R}^n$ [/mm] bestehend aus Quadern bzw. Würfeln, mit der Seitenlänge [mm] $1/{\varepsilon}$.
[/mm]
Begründen Sie
[mm] $\iint_{\mathbmm{R}^d \times \mathbbm{R}^d } (f(x)-f(y))^2 \chi_{\{|x-y|>\delta\}} |x-y|^{-1} [/mm] dxdy = [mm] \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \sum_{P,Q \in Q_{\varepsilon}} (f(m_Q)-f(m_P))^2 \iint_{P \times Q} \chi_{\{|x-y|>\delta\}} |x-y|^{-1} [/mm] dxdy$,
wobei wir Annehmen, dass das Anfangsintegral existiert und $f [mm] \in L^2$. [/mm] Weiterhin sei [mm] $m_P$ [/mm] der Mittelpunkt von $P$ und [mm] $m_Q$ [/mm] der Mittelpunkt von $Q$. |
Hallo,
mir ist die Aussage anschaulich klar, ich weiß nur nicht so recht, wie ich sie beweisen soll. Zunächst einmal kann ich ja das Ausgangsintegral als Summe über alle Quader schreiben
[mm] $\iint_{\mathbbm{R}^d \times \mathbbm{R}^d } (f(x)-f(y))^2 \chi_{\{|x-y|>\delta\}} |x-y|^{-1} [/mm] dxdy = [mm] \sum_{P,Q \in Q_{\varepsilon}} \iint_{P \times Q} (f(x)-f(y))^2|x-y|^{-1}dxdy$. [/mm]
Wie mache ich aber nun weiter? Mir macht am Ende immer die Summe Probleme. Hat jemand eine Idee? Muss ich das irgendwie auf die Definition des Lebesgue-Integrals zurückführen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 14.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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