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Hallo,
ich habe eine allgemeine Frage. Könnt ihr mir das geometrisch erklären, was es heißt, wenn sich z.B. x von unten oder von oben gegen ein Grenzwert nähert? Was ist der Unterschied und wie muss ich mir das vorstellen? Und was ist der Unterschied dazu, wenn sich x 'normal' einem Grenzwert nähert?
Gruß
Ela
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> Hallo,
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> ich habe eine allgemeine Frage. Könnt ihr mir das
> geometrisch erklären, was es heißt, wenn sich z.B. x von
> unten oder von oben gegen ein Grenzwert nähert? Was ist
> der Unterschied und wie muss ich mir das vorstellen? Und
> was ist der Unterschied dazu, wenn sich x 'normal' einem
> Grenzwert nähert?
>
> Gruß
> Ela
Guten Abend
Setzen wir mal voraus, dass die Grundmenge, in der sich
das Ganze abspielen soll, die Menge [mm] \IR [/mm] der reellen Zahlen
sei. Die Aussage, dass eine Zahlenfolge [mm] [/mm] den Grenzwert a
hat, bedeutet auch, dass die Werte der Zahlenfolge [mm]
[/mm]
mit [mm] n\in\IN [/mm] eine Nullfolge bilden, also [mm] $\lim_{n\to\infty}(x_n-a)\ [/mm] =\ 0$ .
Mit der Aussage, dass sich die [mm] x_n [/mm] dem Grenzwert a "von oben"
nähern, könnte gemeint sein, dass einfach für alle n noch
gelten soll: [mm] x_n\ \ge [/mm] a .
Eventuell wird darunter aber auch die (stärkere !) Forderung
verstanden, dass die Folge [mm]
Nullfolge sein soll.
LG , Al-Chw.
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Um ehrlich zu sein, hat mich das noch mehr durcheinander gebracht :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Sa 07.02.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
machen wir das ganze doch mal etwas pragmatischer. Angenommen [mm] $x\in\mathbb{R}$ [/mm] soll gegen den Grenzwert [mm] $x_0=0$ [/mm] streben. Der rechtsseitige Grenzwert (von oben) kann z.B. durch eine Folge stets positiver Zahlen, die immer kleiner werden gebildet werden. Der linksseitige (von unten) durch eine Folge stets negativer Zahlen, die immer größer werden.
Stell Dir den Grenzwert auf einem Zahlenstrahl vor. Wenn Du Dich ausgehend von [mm] $-\infty$ [/mm] dem GW näherst, ist das von unten, wenn Du Dich ausgehend von [mm] $\infty$ [/mm] dem GW näherst, ist das von oben.
Das kann durchaus von Bedeutung sein, betrachte z.B. die Funktion $f(x)=1/x$, es gilt:
[mm] $\lim_{x\searrow 0}f(x)=-\infty$
[/mm]
und
[mm] $\lim_{x\nearrow +0}f(x)=\infty$
[/mm]
Die beiden Grenzwerte sind alles andere als identisch, obwol sie auf der x-Achse nur durch einen Hauch von nichts getrennt sind.
Von einem 'gewöhnlichen' oder beidseitigem Grenzwert spricht man, wenn rechts- und linksseitiger GW existieren und identisch sind.
Gruß,
notinX
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