Grenzen b. Mehrfachintegration < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | | Gegeben sei ein Einheitsprisma (d.h. Seitenlänge 1) im kartesischen Koordinatensystem. Berechnen Sie das Volumen mit Hilfe des Integrals: [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{dzdydx} [/mm] |
Hallo!
Vorab sage ich direkt schonmal: Ich habe bisher nicht mit Integralen zur Volumenberechnung gearbeitet. Ich kenne den Satz von Fubini (das man Integrale "nacheinander" auflösen darf) und kann Integrieren, nur habe ich Probleme mit den Grenzen.
Da eine Zeichnung beiliegt und ich nicht weiß, wie eindeutig die Fragestellung ohne Zeichnung zu verstehen ist, hier ein paar weitere Infos: Ein Einheitsprisma ist ein Prisma das durch den Ursprung geht und sich zur jeder Seite maximal um eine Längeneinheit ausbreitet. Der Punkt (1/1/1) wird jedoch nicht erreicht! Dann wäre es ja eher ein Quader ;)
Beispielhaft sind die Punkte (0/1/1), (1/0/1) am "Rand" des Prismas zu finden (der Punkt (1/1/0) gehört nicht dazu!). Ich hoffe jeder weiß nun ungefähr wie soetwas aussieht.
So, die Integrationsgrenzen sollen die zu berechnende Fläche möglichst "gut" abbilden. Folgende Aussagen kann ich ja schonmal treffen:
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1
0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1, wobei aber z.B. nie x = y = z = 1 gilt. (siehe Beispielpunkte oben)
Ich weiß nun, dass ich mit diesen Grenzen weiterarbeiten darf, aber habe wirklich keine Ahnung wie genau. Ich habe mir einige Beispiel angeschaut, aber diese waren im Endeffekt direkt "zu sehen", weil die Zahlen halt stimmig waren... Aber ich will sowas ja auch bei krummen Zahlen machen können.
Kann mir jemand erklären wie ich hier nun weiterverfahre oder gibt es irgendwo eine Seite wo das gut erklärt wird, sodass ich erstmal grundlegend einen Plan habe was Sache ist?
Des Weiteren habe ich bisher auch noch keine gescheihte Formel für dieses Prisma gefunden. Vielleicht hängt es ja damit zusammen?
Gruß
Pille
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Mi 13.10.2010 | | Autor: | fencheltee |
> Gegeben sei ein Einheitsprisma (d.h. Seitenlänge 1) im
> kartesischen Koordinatensystem. Berechnen Sie das Volumen
> mit Hilfe des Integrals:
> [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{dzdydx}[/mm]
> Hallo!
>
> Vorab sage ich direkt schonmal: Ich habe bisher nicht mit
> Integralen zur Volumenberechnung gearbeitet. Ich kenne den
> Satz von Fubini (das man Integrale "nacheinander" auflösen
> darf) und kann Integrieren, nur habe ich Probleme mit den
> Grenzen.
>
> Da eine Zeichnung beiliegt und ich nicht weiß, wie
> eindeutig die Fragestellung ohne Zeichnung zu verstehen
> ist, hier ein paar weitere Infos: Ein Einheitsprisma ist
> ein Prisma das durch den Ursprung geht und sich zur jeder
> Seite maximal um eine Längeneinheit ausbreitet. Der Punkt
> (1/1/1) wird jedoch nicht erreicht! Dann wäre es ja eher
> ein Quader ;)
> Beispielhaft sind die Punkte (0/1/1), (1/0/1) am "Rand"
> des Prismas zu finden (der Punkt (1/1/0) gehört nicht
> dazu!). Ich hoffe jeder weiß nun ungefähr wie soetwas
> aussieht.
>
> So, die Integrationsgrenzen sollen die zu berechnende
> Fläche möglichst "gut" abbilden. Folgende Aussagen kann
> ich ja schonmal treffen:
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
> 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1
> 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] 1, wobei aber z.B. nie x = y = z = 1 gilt.
> (siehe Beispielpunkte oben)
>
> Ich weiß nun, dass ich mit diesen Grenzen weiterarbeiten
> darf, aber habe wirklich keine Ahnung wie genau. Ich habe
> mir einige Beispiel angeschaut, aber diese waren im
> Endeffekt direkt "zu sehen", weil die Zahlen halt stimmig
> waren... Aber ich will sowas ja auch bei krummen Zahlen
> machen können.
> Kann mir jemand erklären wie ich hier nun weiterverfahre
> oder gibt es irgendwo eine Seite wo das gut erklärt wird,
> sodass ich erstmal grundlegend einen Plan habe was Sache
> ist?
>
> Des Weiteren habe ich bisher auch noch keine gescheihte
> Formel für dieses Prisma gefunden. Vielleicht hängt es ja
> damit zusammen?
>
> Gruß
> Pille
>
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kannst du nicht vielleicht ein bild anhängen?
finde die angegebenen punkte irgendwie widersprüchlich zu der geforderten seitenlänge 1?!
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
Nach etwas hin und her habe ich es per Screenshot und Co. geschafft ;)
![[]](/images/popup.gif) Klick mich!
Ich hoffe man darf hier so verlinken?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Mi 13.10.2010 | | Autor: | abakus |
Warum sagst du nicht gleich, dass das "Einheitsprisma" als Grundfläche ein regelmäßiges DREIeck hat?
Eine Schilderung der Aufgabenstellung mit allen zur Hilfe erforderlichen Angaben erleichtert den Helfern ungemein, dir zu helfen.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Mi 13.10.2010 | | Autor: | fencheltee |
> Warum sagst du nicht gleich, dass das "Einheitsprisma" als
> Grundfläche ein regelmäßiges DREIeck hat?
> Eine Schilderung der Aufgabenstellung mit allen zur Hilfe
> erforderlichen Angaben erleichtert den Helfern ungemein,
> dir zu helfen.
>
> Gruß Abakus
die x- und y-achsen verlaufen doch parallel zu 2 seiten des dreiecks.
ist die zeichnung ungelungen? denn ich sehe bestenfalls ein rechtwinkliges dreieck; kein regelmässiges?!
gruß tee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Mi 13.10.2010 | | Autor: | chrisno |
Nun kann man ja Dir auch weiterhelfen. Es gibt nur ein Problem bei der Integration über x und y, nicht bei der über z.
Dennoch, betrachte das ganze Prisma als aus lauter kleinen Würfeln bestehend. Nun fang in der Höhe z=0 an, die Würfel einzusammeln. Du beginnst bei y=0. Wie weit musst Du in x gehen, um alle Würfel einzusammeln? Nun geh ein Stück weiter, also zu irgendeinem 0<y<1. Wie weit musst Du hier gehen, um in x-Richtung alle Würfel einzusammeln? Irgenswie musst Du diesen Wert für Dein größtes x durch den Wert von y, den Du gerade betrachtest, ausdrücken. Das ist recht einfach.
(Die Würfel sind natürlch infinitesimal klein, aber denk Dir lieber reale Würfel und stoß Dich nicht an den Ecken, die irgendwo überstehen.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi Chrisno,
das habe ich früher auch immer so gemacht. Irgendwann hatte ich die Nase voll davon, dass mir die Würfel für z>0 auf den Kopf fielen, als ich die für z=0 eingesammelt habe. Seitdem bin ich dazu übergegangen, die Würfel auszulegen statt einzusammeln.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Mi 13.10.2010 | | Autor: | chrisno |
Zum Glück schweben meine Würfel und bleiben so brav an ihrem Ort.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Pille456 |
Also,
Ich bin bei y = z = 0, dann muss ich logischerweise in x-Richtung bis x = 1 gehen.
Wenn ich bei z = 0, y = 1 bin, muss ich in x-Richtung bis x = 0 gehen.
d.h. für z = 0, gilt: x = 1-y
Wenn ich bei z = 0, x = 0 bin, dann muss ich in y-Richtung bis y = 1 gehen, bei z = 0, x = 1 in y-Richtung bis y = 0. Also gilt hier y = 1-x
Bei x = y = 0, müsste ich in z-Richtung bis z = 1 gehen. Bei x = 0, y = 1 müsste ich ebenfalls in z-Richtung bis z = 1 gehen. Bei x = 1, y = 0 müsste ich auch bis x = 1 gehen.
Das hieße, dass ich über z in jedem Fall von 0 bis 1 iteriere, oder?
In der Vorstellung der tausend kleinen Würfel, würde ich mir das dann so vorstellen, dass man im äußerten Integral über 0 bis 1 "iteriert" und so immer die "konkreten" Werte für y (x) hat?
Soweit ich das sehe fehlen da immernoch ein paar Grenzen und konkret wann wo welche Grenzen einzusetzen sind weiß ich auch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mi 13.10.2010 | | Autor: | chrisno |
Eigentlich hast Du es schon. Die Grenzen sind Anfangspunkt und Endpunkt des Einsammelns. Du musst Dich für eine Reihenfolge entscheiden. Zum Beispiel:
Du sammelst zuerst in x-Richtung auf. Du fängst an bei x=0 (untere Grenze) und hörst auf bei x=1-y (obere Grenze). So hast Du einen Streifen für einen beliebigen y-Wert eingesammelt.
Als nächstes sammelst Du in y-Richtung auf, dann Du willst ja alle diese Streifen einsammeln. Du fängst an bei y=0 (untere Grenze) und hörst auf bei y=1 (obere Grenze). Dass die Streifen die richtige Länge haben, hast Du schon beim Einsammeln in x-Richtung organisiert.
Nun hast Du die unsterste Lage. Um alle Schichten einzusammeln beginnst Du bei z=0 und hörst auf bei z=1.
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