Greensche Formel --> PBZ < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Uli_Six |
| Aufgabe | | Bestimmen sie die Greensche Funktion von y"+2ay'+ßy, wobei [mm] a^2 [/mm] < ß (a,b [mm] \in \IR) [/mm] |
Ich bin jetzt soweit, dass ich
[mm] \bruch{1}{s^2+2as+\beta} [/mm]
als PBZ zerlegen will. Ich weiß auch dass der Nenner komplexe NS hat und ich deswegen den Ansatz
[mm]\bruch{A+Bx}{????}[/mm]
nehmen muss.
Leider weiß ich nich genau wie der Nenner aussieht oder wie man da überhaupt weitermacht.
Über Hilfe wäre ich dankbar !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Do 18.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
PBZ von [mm] $\frac{1}{s^2+2as+b}$ [/mm] (mit [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] und [mm] $a^2
Zunächst bestimme (z.B. mit der p-q-Formel) die Nullstellen des Nenners. Du erhälst die Nullstellen
[mm] $s_{1,2}=-\frac{2a}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2a}{2}\right)^2-b}=-a\pm\sqrt{a^2-b}$
[/mm]
Der Ansatz der Partialbruchzerlegung lautet nun: Finde [mm] $A,B\in\IC$ [/mm] mit
[mm] $\frac{1}{s^2+2as+b}=\frac{A}{(s-(-a+\sqrt{a^2-b}))}+\frac{B}{(s-(-a-\sqrt{a^2-b}))}$
[/mm]
Machst Du die Brüche der rechten Seite jetzt gleichnamig, so erhälst Du zwei Bedingungsgleichungen:
(1): $A+B=0$
(2): [mm] $-A(-a-\sqrt{a^2-b})-B(-a+\sqrt{a^2-b})=1$
[/mm]
Aus (1) folgt nun $A=-B$. Diese Tatsache verwenden wir anschließend in (2) und erhalten [mm] $A=\frac{1}{2\sqrt{a^2-b}}$. [/mm] Wegen (1) gilt damit [mm] $B=-\frac{1}{2\sqrt{a^2-b}}$. [/mm] Insgesamt erhalten wir damit die folgende Partialbruchzerlegung
[mm] $\frac{1}{s^2+2as+b}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{a^2-b}}}{(s-(-a+\sqrt{a^2-b}))}+\frac{-\frac{1}{2\sqrt{a^2-b}}}{(s-(-a-\sqrt{a^2-b}))}$
[/mm]
Beachte hierbei, dass Deine zusätzliche Bedingung [mm] $a^2
Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Uli_Six |
Ok schonmal danke für die Antwort.
Aber musste man nich bei Komplexen Nullstellen diesen anderen Ansatz nehmen? Sowas wie:
[mm] \bruch{Ax+B}{??}
[/mm]
bzw. weiß jetzt immer noch nich wie ich aus dieser PBZ diese Greensche Funktion rausbekomm...
Wär nett wenn du mir da noch n paar Tips geben könntest.
Danke Uli Six
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Fr 19.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn der Nenner von
$ [mm] \bruch{1}{s^2+2as+\beta} [/mm] $
keine reelle Nullstelle hat, so ist das
$ [mm] \bruch{1}{s^2+2as+\beta} [/mm] $
die PBZ
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Uli_Six |
Ok jetzt bin ich komplett verwirrt...
Das heißt es gibt keine PBZ ?
(Oder hast du dich mit deiner Antwort irgendwie vertan)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Fr 19.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok jetzt bin ich komplett verwirrt...
>
> Das heißt es gibt keine PBZ ?
Doch. Das ist sie:
$ [mm] \bruch{1}{s^2+2as+\beta} [/mm] $
Was gefällt Dir daran nicht ?
Schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
FRED
>
> (Oder hast du dich mit deiner Antwort irgendwie vertan)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Uli_Six |
Aber ich möchte doch grade von dieses Bruch eine PBZ.
So das da am Ende steht:
[mm] \bruch{1}{s^2+2*a*s+\beta}=\bruch{A}{xxx}+\bruch{B}{xxx}
[/mm]
Und das was da steht sollte ja möglichst "einfach" sein. So dass ich dazu in ner Tabelle die Greensche Funktion finden kann. So haben wir das gelernt.
Soll jetzt nicht so "negativ" rüberkommen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 So 21.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Und was soll dabei xxx sein ?
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:41 So 21.06.2009 | | Autor: | Uli_Six |
Naja xxx ist eigentlich (x - 1.Nullstelle) und (x - 2.Nullstelle).
So wie es ja auch schon in der ersten Antwort von Denny steht. Nur war mir das Ergebnis ein wenig zu kompliziert, weil wir da so eine Tabelle benutzen wo wir raussuchen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 23.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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