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Grassmann - Identität: Verifizieren
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Fr 19.06.2015
Autor: Jura86

Aufgabe
Verifizieren Sie die Grassmann-Identität
u × (v × w ) = ( u · w ) v − ( u · v ) w
für
u = (2,−2,1,)   v = ( 2,5,14 )  w = (4,4,−2)

Wie kann man diese Aussage interpretieren (wie liegt u × (v × w) in Bezug auf v,w)?

Was versteht man unter Grassman - Identität ?
Und was heißt Verifizieren ?

Ich habe meiner Idee nach für u, v und w die Vektoren eingesetzt und gerechnet.
Ist das, das Verifizieren ?

u = (2,−2,1,)   v = ( 2,5,14 )  w = (4,4,−2)

u × (v × w ) = ( u · w ) v − ( u · v ) w


[mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} \times [/mm]  (  [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 14} \times \vektor{4 \\ 4 \\ -2} [/mm] ) =(  [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] ) [mm] *\vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] -  ( [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] ) * [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm]

= u [mm] \times [/mm] 0 = (v*w)*v - (u*v)*w

[mm] =\vektor{2 \\ -2 \\ 1} \times \vektor{0\\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{16 \\ -40 \\-28}- \vektor{16 \\ -40\\ -28} [/mm]

= 0=0

Ist das richtig so ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Grassmann - Identität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Fr 19.06.2015
Autor: chrisno


> Verifizieren Sie die Grassmann-Identität
>  u × (v × w ) = ( u · w ) v − ( u · v ) w für
>  u = (2,−2,1)   v = ( 2,5,14 )  w = (4,4,−2)
>  
> Wie kann man diese Aussage interpretieren (wie liegt u × (v × w) in Bezug auf v,w)?

Schau auf die rechte Seite. Da steht eine Linearkombination von v und w. Welches geometrisches Gebilde wird durch alle möglichen dieser Linarkombinationen von v und w beschrieben?

Zum Vergleich kannst Du es auch "zu Fuß" machen: v x w steht senkrecht auf v und auf w. das Ergebnis von u × (v × w ) steht wiederum senkrecht auf diesem.

>  Was versteht man unter Grassman - Identität ?

Die Gleichung u × (v × w ) = ( u · w ) v − ( u · v ) w heißt Grassmann - Identität.

>  Und was heißt Verifizieren ?

Zeigen dass es stimmt.

>  
> Ich habe meiner Idee nach für u, v und w die Vektoren  eingesetzt und gerechnet.
>  Ist das, das Verifizieren ?

Wenn am Ende der Rechnung herauskommt, dass es stimmt, ja.

>  
> u = (2,−2,1)   v = ( 2,5,14 )  w = (4,4,−2)
>  
> u × (v × w ) = ( u · w ) v − ( u · v ) w

Die Gleichheit sollst Du zeigen. Dafür rechnest Du beide Seiten getrennt aus.

>  
>

Für die linke Seite:
[mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1} \times \left( \vektor{2 \\ 5 \\ 14} \times \vektor{4 \\ 4 \\ -2} \right) =\vektor{2 \\ -2 \\ 1} \times \vektor{0\\ 0 \\ 0}[/mm]
Das ist aber falsch gerechnet. Ich befürchte, dass Du das Vektorprodukt auch Kreuzprodukt genannt, nicht kennst. Du musst also erst die Bedeutung des Rechenzeichens x klären und üben, bevor Du an dieser Aufgabe weiter arbeiten kannst.

Für die rechte Seite

(  [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm] ) [mm]*\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm] -  ( [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm] ) * [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm]
Du setzt immer nur u ein, obwohl da auch w und v stehen müssen. Das musst Du vor einer Rechnung erst einmal richtig hinschreiben.

Bezug
                
Bezug
Grassmann - Identität: Rechenweg
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:01 Sa 20.06.2015
Autor: Jura86

Gut ich werde dann mal besser erst andere Aufgabe lösen dann komme ich zu dieser zurück.

Bis bald.!!

Bezug
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