Gramsche Matrix < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei [mm] V=\IR^{3} [/mm] und f:V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR [/mm] die [mm] \IR-Bilinearform [/mm] mit der Gramschen Matrix [mm] G=\pmat{ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 } [/mm] bezüglich der Standardbasis von V.
a) Man beweise, dass (V,f) ein euklidischer Vektorraum ist. |
Hallo^^
Also damit (V,f) ein euklidischer VR ist, muss f ein Skalarprodukt sein.
Und f ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn f eine positiv definite und symmetrische [mm] \IR-Bilinearform [/mm] ist.
Also, dass f positiv definit, habe ich schon nachgewiesen.
Darf ich die Symmetrie so begründen, dass G symmetrisch ist, daher ist auch f symmetrisch?
Und dass es eine [mm] \IR-Bilinearform [/mm] ist, steht schon in der Aufgabe, also muss ich das nicht nachweisen.
Ich habe noch eine allegemeine Frage.Das steht zwar nicht in der Aufgabe, aber ich wollte für mich nachweisen, dass G auch die Gramsche Matrix bezüglich der Standardbasis von V ist bzw. ich wollte die Gramsche Matrix selbst ausrechnen, aber irgendwie hat es nicht ganz geklappt. Ich hoffe jemand findet meinen Fehler.
Ich hab zunächst die Standardbasis von V,also [mm] S=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}.
[/mm]
Wir haben die Gramsche Matrix so definiert:
Seien m,n [mm] \in \IN, [/mm] V,W K-Vektorräume mit [mm] m=dim_{K}V, n=dim_{K}W,
[/mm]
f:V [mm] \times [/mm] W [mm] \to [/mm] K eine K Bilinearform, B eine Basis von V, C eine Basis von W.
Dann gibt es genau ein A [mm] \in K^{m \times n} [/mm] mit
[mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V, [mm] w\in [/mm] W: [mm] f(v,w)=x(v)^{T}*A*y(w), [/mm] wobei
x(v)= Koordinatenspalte von v bzgl. B,
y(w)=Koordinatenspalte von w bzgl. C.
Falls V=W und B=C, dann heißt A die Gramsche Matrix von f bzgl. B.
Jetzt berechne ich z.B. [mm] f(v_{1},v_{1})=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=1, [/mm] v [mm] \in [/mm] S.
So berechne ich das Bild von allen Paaren und habe als Gramsche Matrix die 3 [mm] \times [/mm] 3 Einheitsmatrix. Aber das stimmt ja nicht.
Was mache ich hier falsch und wie kann ich die Gramsche Matrix richtig berechnen?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
> Sei [mm]V=\IR^{3}[/mm] und f:V [mm]\times[/mm] V [mm]\to \IR[/mm] die [mm]\IR-Bilinearform[/mm]
> mit der Gramschen Matrix [mm]G=\pmat{ 2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2 }[/mm]
> bezüglich der Standardbasis von V.
>
> a) Man beweise, dass (V,f) ein euklidischer Vektorraum
> ist.
>
> Hallo^^
>
> Also damit (V,f) ein euklidischer VR ist, muss f ein
> Skalarprodukt sein.
> Und f ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn f eine
> positiv definite und symmetrische [mm]\IR-Bilinearform[/mm] ist.
Hallo,
ja.
>
> Also, dass f positiv definit, habe ich schon nachgewiesen.
> Darf ich die Symmetrie so begründen, dass G symmetrisch
> ist, daher ist auch f symmetrisch?
Ja.
> Und dass es eine [mm]\IR-Bilinearform[/mm] ist, steht schon in der
> Aufgabe, also muss ich das nicht nachweisen.
>
> Ich habe noch eine allegemeine Frage.Das steht zwar nicht
> in der Aufgabe, aber ich wollte für mich nachweisen, dass
> G auch die Gramsche Matrix bezüglich der Standardbasis von
> V ist bzw. ich wollte die Gramsche Matrix selbst
> ausrechnen,
Die steht ja schon da.
> aber irgendwie hat es nicht ganz geklappt. Ich
> hoffe jemand findet meinen Fehler.
>
> Ich hab zunächst die Standardbasis von V,also
> [mm]S=\{\vektor{1 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
1 \\
0},\vektor{0 \\
0 \\
1}\}.[/mm]
>
> Wir haben die Gramsche Matrix so definiert:
> Seien m,n [mm]\in \IN,[/mm] V,W K-Vektorräume mit [mm]m=dim_{K}V, n=dim_{K}W,[/mm]
>
> f:V [mm]\times[/mm] W [mm]\to[/mm] K eine K Bilinearform, B eine Basis von V,
> C eine Basis von W.
>
> Dann gibt es genau ein A [mm]\in K^{m \times n}[/mm] mit
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V, [mm]w\in[/mm] W: [mm]f(v,w)=x(v)^{T}*A*y(w),[/mm] wobei
> x(v)= Koordinatenspalte von v bzgl. B,
> y(w)=Koordinatenspalte von w bzgl. C.
>
> Falls V=W und B=C, dann heißt A die Gramsche Matrix von f
> bzgl. B.
> Jetzt berechne ich z.B. [mm]f(v_{1},v_{1})=\vektor{1 \\
0 \\
0}*\vektor{1 \\
0 \\
0}=1,[/mm]
> v [mm]\in[/mm] S.
> So berechne ich das Bild von allen Paaren und habe als
> Gramsche Matrix die 3 [mm]\times[/mm] 3 Einheitsmatrix. Aber das
> stimmt ja nicht.
> Was mache ich hier falsch
Du gehst davon aus, daß das zu betrachtende Skalarprodukt das Standardskalarprodukt ist.
> und wie kann ich die Gramsche
> Matrix richtig berechnen?
Du hast sie ja schon vorliegen in dieser Aufgabe.
die Bilinearform, die Du hier betrachtest, ist doch diese
f(x,y)= [mm] x^{t}Gy, \qquad x,y\in \IR^3.
[/mm]
Jetzt berechne mal die Dich interessierenden Produkte der Basisvektoren.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Was mache ich hier falsch
>
> Du gehst davon aus, daß das zu betrachtende Skalarprodukt
> das Standardskalarprodukt ist.
Stimmt.
>
> > und wie kann ich die Gramsche
> > Matrix richtig berechnen?
>
> Du hast sie ja schon vorliegen in dieser Aufgabe.
>
> die Bilinearform, die Du hier betrachtest, ist doch diese
>
> f(x,y)= [mm]x^{t}Gy, \qquad x,y\in \IR^3.[/mm]
>
> Jetzt berechne mal die Dich interessierenden Produkte der
> Basisvektoren.
Also ich hab jetzt alle berechnet, wusste nicht genau was du mit "interessierenden" meinst.Die Produkte sind die Einträge der Gramschen Matrix.
Ist es etwa allgemein so,dass wenn man eine Bilinearform hat, dann ist [mm] f(x,y)=x^{T}*A*y, [/mm] wobei A irgendeine Matrix ist, die die Abbildung definiert ?
Meine Frage war aber etwas anders, ich wollte wissen, ob man, wenn man eine Bilinearform gegeben hat, die Gramsche Matrix dazu berechnen kann.Das hatte ich versucht bei dieser Aufgabe zu tun, und wollte dann überprüfen ob meine ausgerechnete Gramsche Matrix richtig war, was nicht der Fall war,da ich vom Standardskalarprodukt ausgegangen bin.
So, du hast jetzt gesagt es ist [mm] f(x,y)=x^{t}Gy. [/mm] Dabei verwende ich die Gramsche Matrix schon zum Berechnen der Bilder.
Angenommen, ich hätte die Gramsche Matrix nicht gegeben und sollte sie berechnen, das wollte ich wissen, wie das geht oder kann man das so nicht berechnen?
Z..B sagt man bei darstellenden Matrizen:"Berechne die darstellende Matrix von f bezüglich der Basis B".
Und so wollte ich die Gramsche Matrix bezüglich der Basis S berechnen.
lg
|
|
|
| |
|
> Ist es etwa allgemein so,dass wenn man eine Bilinearform
> hat, dann ist [mm]f(x,y)=x^{T}*A*y,[/mm] wobei A irgendeine Matrix
> ist, die die Abbildung definiert ?
> Meine Frage war aber etwas anders, ich wollte wissen, ob
> man, wenn man eine Bilinearform gegeben hat, die Gramsche
> Matrix dazu berechnen kann.Das hatte ich versucht bei
> dieser Aufgabe zu tun, und wollte dann überprüfen ob
> meine ausgerechnete Gramsche Matrix richtig war, was nicht
> der Fall war,da ich vom Standardskalarprodukt ausgegangen
> bin.
>
> So, du hast jetzt gesagt es ist [mm]f(x,y)=x^{t}Gy.[/mm] Dabei
> verwende ich die Gramsche Matrix schon zum Berechnen der
> Bilder.
> Angenommen, ich hätte die Gramsche Matrix nicht gegeben
> und sollte sie berechnen, das wollte ich wissen, wie das
> geht oder kann man das so nicht berechnen?
Hallo,
wenn f(x,y):= [mm] 2x_1y_2 [/mm] + [mm] 5x_2y_3 [/mm] + [mm] x_3y_2 [/mm] + [mm] 7x_3y_3,
[/mm]
dann bekommst Du die Grammatrix bzgl der Standardbasis, indem Du
[mm] f(\vektor{1\\0\\0}, \vektor{1\\0\\0}), f(\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}) [/mm] usw. ausrechnest.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | b) Man ordne folgende Paare von Vektoren in V nach dem von ihnen eingeschlossenen Winkel.
[mm] (\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}),(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}),(\vektor{1 \\ 1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] |
Hallo,
ich hab mal die b) gemacht, aber ich bekomme da zwei verschiedene Ergebnisse für einen Winkel und finde den Fehler nicht.
Zuerst berechne ich den Winkel zwischen den Zwei Vektoren dieses Paares [mm] (\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}).
[/mm]
Seien [mm] x=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] y=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, [/mm] für den Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen x und y gilt:
[mm] cos(\alpha)=\bruch{f(x,y)}{|x|*|y|}.
[/mm]
Es gilt allgemein für zwei Vektoren aus V:
[mm] f(x,y)=2*x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+2x_{2}y_{2}-x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+2x_{3}x_{3}.
[/mm]
Das habe ich der Gramschen Matrix [mm] G=\pmat{ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 } [/mm] entnommen.
Setze ich jeweils die Koordinaten für [mm] x=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] y=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] ein, bekomme ich f(x,y)=-1, damit wäre [mm] \alpha=180°.
[/mm]
In Wirklichkeit ist es aber f(x,y)=x*y=0, also [mm] \alpha=90°.
[/mm]
Ich verstehe einfach, was in bei dem ersten Weg falsch mache.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei (V,f) der euklidische Vektorraum wie in a).Man finde eine Orthonormalbasis in [mm] U^{\perp} [/mm] (nicht in U!) in folgenden Fällen:
a) [mm] U=\IR(1,1,0)^{T}
[/mm]
[mm] b)U=\IR(1,1,0)^{T}+\IR(0,1,1)^{T} [/mm] |
Hallo,
Ich habe Orthonormalbasen gefunden, und wüsste gern ob die richtig sind.
Also eine Orthonormalbasis ist eine Basis, der Elemente alle orthogonal aufeinander stehen, die Länge 1 haben und eine Basis von [mm] U^{\perp} [/mm] bilden.
a) Es ist [mm] U=\IR(1,1,0)^{T}=Span_{\IR}\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\}=\{r\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ 0}|r \in \IR\} [/mm] und
[mm] U^{\perp}=\{v \in V|u \perp v, \forall u \in U\}.
[/mm]
Dann hab ich mir folgendes gefacht:
Wenn ein Vektor orthogonal zu [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] sein soll, dann muss gelten: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}*\vektor{x \\ y \\ z}=0 \Rightarrow [/mm] x+y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=-x, also ist
[mm] U^{\perp}=\vektor{x \\ -x \\ z}.
[/mm]
Eine Basis hiervon ist [mm] B=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ -1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}.
[/mm]
Stimmt das so?
b) Es ist [mm] U=\IR(1,1,0)^{T}+\IR(0,1,1)^{T}=Span_{\IR}\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+\vektor{0 \\ 1 \\ 1}\}=\{r\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}|r,s \in \IR\}.
[/mm]
Jetzt nehme ich einen Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in U^{\perp}. [/mm] Dann muss gelten:
[mm] (r*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 1})*\vektor{x \\ y \\ z}=0,also [/mm]
r*x+s*(y+z)=0
Damit dies erfüllt ist muss x=0 und y+z=0 sein.Also z=-y.
Somit ist [mm] U^{\perp}=\vektor{0 \\ y \\ -y}. [/mm] Eine Basis hiervon ist [mm] B=\{\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ -1}\}.
[/mm]
Ist das richtig so?
|
|
|
| |
|
> Sei (V,f) der euklidische Vektorraum wie in a).Man finde
> eine Orthonormalbasis in [mm]U^{\perp}[/mm] (nicht in U!) in
> folgenden Fällen:
>
> a) [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}[/mm]
> [mm]b)U=\IR(1,1,0)^{T}+\IR(0,1,1)^{T}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Ich habe Orthonormalbasen gefunden, und wüsste gern ob die
> richtig sind.
> Also eine Orthonormalbasis ist eine Basis, der Elemente
> alle orthogonal aufeinander stehen, die Länge 1 haben und
> eine Basis von [mm]U^{\perp}[/mm] bilden.
>
> a) Es ist [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}=Span_{\IR}\{\vektor{1 \\
1 \\
0}\}=\{r\cdot{}\vektor{1 \\
1\\
0}|r \in \IR\}[/mm]
> und
> [mm]U^{\perp}=\{v \in V|u \perp v, \forall u \in U\}.[/mm]
>
> Dann hab ich mir folgendes gefacht:
> Wenn ein Vektor orthogonal zu [mm]\vektor{1 \\
1 \\
0}[/mm] sein
> soll, dann muss gelten: [mm]\vektor{1 \\
1\\
0}*\vektor{x \\
y \\
z}=0 \Rightarrow[/mm]
> x+y=0 [mm]\Rightarrow[/mm] y=-x, also ist
> [mm]U^{\perp}=\vektor{x \\
-x \\
z}.[/mm]
Hallo,
mal abgesehen davon, daß Du [mm] U^{\perp} [/mm] noch gescheit aufschreiben müßtest, etwa als span seiner Basisvektoren, machst Du denselben Fehler wie zuvor (was ja kein Wunder ist.):
Du mißachtest, daß die Aufgabe nicht von Standardskalarprodukt handelt, sondern von der durch G definierten Bilinearform mit [mm] f(x,y)=x^{T}Gy.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du mißachtest, daß die Aufgabe nicht von
> Standardskalarprodukt handelt, sondern von der durch G
> definierten Bilinearform mit [mm]f(x,y)=x^{T}Gy.[/mm]
Ok,ich habe meinen Fehler erkannt und habe die Aufgabe nochmal gemacht.
a) Es ist [mm] U=\IR(1,1,0)^{T}=Span_{\IR}\{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}\}=\{r\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 0}|r \in \IR\}.
[/mm]
Seien alle Elemente aus [mm] U^{\perp} [/mm] von der Form [mm] \vektor{x \\ y \\ z}.Dann [/mm] muss gelten:
[mm] (1,1,0)*\pmat{ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 }* \vektor{x \\ y \\ z}=x+y-z [/mm] und das muss gleich 0 sein, also x+y-z=0
Daraus folgt x=z-y, y=z-x, z=x+y, also ist
[mm] U^{\perp}=Span_{\IR}\{\vektor{z-y \\ z-x \\ x+y}\}=\{s\cdot{}\vektor{z-y \\ z-x \\ x+y}|s \in \IR\} [/mm] und davon muss ich jetzt eine Orthonormalbasis finden.
Dazu hab ich mir gedacht, dass man auch schreiben kann [mm] \vektor{z-y \\ z-x \\ x+y}=\vektor{z \\ z \\ x}+\vektor{-y \\ -x \\ y} [/mm] und dazu habe ich auch eine Basis gefunden, aber die Elemente der Basis haben nicht die Länge 1.Meine Basis lautet:
[mm] B=(\vektor{1 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ -1 \\ 1},\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}).
[/mm]
Ich hoffe meine Rechnung stimmt jetzt bis hier hin.Wie kann ich denn eine Basis finden deren Elemente alle die Länge 1 haben?
lg
|
|
|
| |
|
>
> > Du mißachtest, daß die Aufgabe nicht von
> > Standardskalarprodukt handelt, sondern von der durch G
> > definierten Bilinearform mit [mm]f(x,y)=x^{T}Gy.[/mm]
>
> Ok,ich habe meinen Fehler erkannt und habe die Aufgabe
> nochmal gemacht.
>
> a) Es ist [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}=Span_{\IR}\{\vektor{1 \\
1 \\
0}\}=\{r\cdot{}\vektor{1 \\
1 \\
0}|r \in \IR\}.[/mm]
>
> Seien alle Elemente aus [mm]U^{\perp}[/mm] von der Form [mm]\vektor{x \\
y \\
z}.Dann[/mm]
> muss gelten:
> [mm](1,1,0)*\pmat{ 2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2 }* \vektor{x \\
y \\
z}=x+y-z[/mm]
> und das muss gleich 0 sein, also x+y-z=0
> Daraus folgt x=z-y, y=z-x, z=x+y, also ist
>
> [mm]U^{\perp}=Span_{\IR}\{\vektor{z-y \\
z-x \\
x+y}\}=\{s\cdot{}\vektor{z-y \\
z-x \\
x+y}|s \in \IR\}[/mm]
> und davon muss ich jetzt eine Orthonormalbasis finden.
>
> Dazu hab ich mir gedacht, dass man auch schreiben kann
> [mm]\vektor{z-y \\
z-x \\
x+y}=\vektor{z \\
z \\
x}+\vektor{-y \\
-x \\
y}[/mm]
> und dazu habe ich auch eine Basis gefunden, aber die
> Elemente der Basis haben nicht die Länge 1.
Hallo,
das ist das kleinere der Probleme.
Ich wäre etwas stutzig geworden,weil eine komplette Basis des [mm] \IR^3 [/mm] orthogonal ist zu [mm] \vektor{1\\1\\0},
[/mm]
und hast Du malnachgerechnet, ob die drei Vektoren wirklich orthogonal sind zu Deinem Vektor?
Das Problem ist die "Lösung" Deines GSs.
Vielleicht überlegst Du mal in Ruhe, welche Dimension der Lösungsraum von 0=x+y-z hat, und was eine Basis dieses Raumes ist.
LGSe hattet Ihr doch schon,wenn ich mich recht entsinne.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
> Meine Basis
> lautet:
> [mm]B=(\vektor{1 \\
1 \\
0},\vektor{0 \\
-1 \\
1},\vektor{-1 \\
0 \\
1}).[/mm]
>
> Ich hoffe meine Rechnung stimmt jetzt bis hier hin.Wie kann
> ich denn eine Basis finden deren Elemente alle die Länge 1
> haben?
>
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> das ist das kleinere der Probleme.
>
> Ich wäre etwas stutzig geworden,weil eine komplette Basis
> des [mm]\IR^3[/mm] orthogonal ist zu [mm]\vektor{1\\1\\0},[/mm]
>
> und hast Du malnachgerechnet, ob die drei Vektoren wirklich
> orthogonal sind zu Deinem Vektor?
Ja,jetzt schon und das ist nicht der Fall.
> Das Problem ist die "Lösung" Deines GSs.
>
> Vielleicht überlegst Du mal in Ruhe, welche Dimension der
> Lösungsraum von 0=x+y-z hat, und was eine Basis dieses
> Raumes ist.
Also die Gleichung 0=x+y-z stellt doch eine Ursprungsebene dar.
Und eine Ebene ist immer definiert durch einen Auffahrtsvektor und zwei Richtungsvektoren.Da diese Ebene durch den Ursprung geht, kann man als Auffahrtsvektor immer den Nullvektor nehmen, d.h. ich brauche dann noch zwei Richtungsvektoren.Daher würde ich sagen,dass die Dimension vom Lösungsraum 2 ist, also brauche ich auch 2 Vektoren um eine Basis festzulegen.
Als Basis hätte ich jetzt einfach ((1,0,0),(0,1,-1)) genommen,aber da hat das zweite Element wieder nicht die Länge 1 und die beiden Elemente stehen nicht orthogonal zu (1,1,0).
Ich verstehe einfach nicht, wie ich eine eine Basis finde,die auch Orthonormalbasis ist?
lg
|
|
|
| |
|
> >
> > das ist das kleinere der Probleme.
> >
> > Ich wäre etwas stutzig geworden,weil eine komplette Basis
> > des [mm]\IR^3[/mm] orthogonal ist zu [mm]\vektor{1\\
1\\
0},[/mm]
[#000000] [/#000000]
> > und hast Du malnachgerechnet, ob die drei Vektoren wirklich
> > orthogonal sind zu Deinem Vektor?
>
> Ja,jetzt schon und das ist nicht der Fall.
> > Das Problem ist die "Lösung" Deines GSs.
> >
> > Vielleicht überlegst Du mal in Ruhe, welche Dimension der
> > Lösungsraum von 0=x+y-z hat, und was eine Basis dieses
> > Raumes ist.
>
> Also die Gleichung 0=x+y-z stellt doch eine Ursprungsebene
> dar.
> Und eine Ebene ist immer definiert durch einen
> Auffahrtsvektor und zwei Richtungsvektoren.Da diese Ebene
> durch den Ursprung geht, kann man als Auffahrtsvektor immer
> den Nullvektor nehmen, d.h. ich brauche dann noch zwei
> Richtungsvektoren.Daher würde ich sagen,dass die Dimension
> vom Lösungsraum 2 ist, also brauche ich auch 2 Vektoren um
> eine Basis festzulegen.
Hallo,
ja, daß die Dimension des Lösungsraumes =2 ist, ist ja schonmaleine wesentliche Erkenntnis.
> Als Basis hätte ich jetzt einfach ((1,0,0),(0,1,-1))
> genommen,
Wie kommst Du darauf? Die beiden lösen doch gar nicht die Gleichung?
> aber da hat das zweite Element wieder nicht die
> Länge 1
Das erste auch nicht.
> beiden Elemente stehen nicht orthogonal zu
> (1,1,0).
Achso, Du hast es doch gemerkt.
Wenn sie nicht orthogonal zu [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] sind, können sie keine Basis von [mm] <\vektor{1\\1\\0}>^{\perp} [/mm] sein.
Wenn sie untereinander nicht orthogonal sind, bilden sie keine ONB.
> Ich verstehe einfach nicht, wie ich eine eine Basis
> finde,die auch Orthonormalbasis ist?
"ONB" ist ein Luxusproblem.
Das vordringliche Problem ist die Lösung des Gleichungssystems x+y-z=0.
Zwei der Variablen, etwa y und z, sind frei, x ist durch diese bestimmt.
Wie sehen die Lösungsvektoren also aus? [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{...\\y\\z}= [/mm] y*... + z* ...
Wenn Du eine Basis hast, kannst Du zum Orthonormieren Gram-Schmidt verwenden. Jegliches Skalarprodukt, jegliche Norm geht mit Deiner speziellen Bilinearform.
Gruß v. Angela
>
> lg
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ich verstehe einfach nicht, wie ich eine eine Basis
> > finde,die auch Orthonormalbasis ist?
>
> "ONB" ist ein Luxusproblem.
> Das vordringliche Problem ist die Lösung des
> Gleichungssystems x+y-z=0.
>
> Zwei der Variablen, etwa y und z, sind frei, x ist durch
> diese bestimmt.
>
> Wie sehen die Lösungsvektoren also aus?
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{...\\y\\z}=[/mm] y*... + z* ...
Achso,dann sehen die Lösungsvektoren so aus: [mm] \vektor{z-y\\y\\z} [/mm] und eine Basis ist dann [mm] ((\vektor{-1\\1\\0}),(\vektor{1\\0\\1})) [/mm] ?
>
> Wenn Du eine Basis hast, kannst Du zum Orthonormieren
> Gram-Schmidt verwenden. Jegliches Skalarprodukt, jegliche
> Norm geht mit Deiner speziellen Bilinearform.
Ok,das hab ich mir schon gedacht,dass es schwer wird eine ONB zu finden,man muss zuerst eine Basis finden und sie dann ortnomalisieren.
lg
|
|
|
| |
|
Hallo Mandy_90,
> > > Ich verstehe einfach nicht, wie ich eine eine Basis
> > > finde,die auch Orthonormalbasis ist?
> >
> > "ONB" ist ein Luxusproblem.
> > Das vordringliche Problem ist die Lösung des
> > Gleichungssystems x+y-z=0.
> >
> > Zwei der Variablen, etwa y und z, sind frei, x ist durch
> > diese bestimmt.
> >
> > Wie sehen die Lösungsvektoren also aus?
> > [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{...\\y\\z}=[/mm] y*... + z* ...
>
> Achso,dann sehen die Lösungsvektoren so aus:
> [mm]\vektor{z-y\\y\\z}[/mm] und eine Basis ist dann
> [mm]((\vektor{-1\\1\\0}),(\vektor{1\\0\\1}))[/mm] ?
>
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > Wenn Du eine Basis hast, kannst Du zum Orthonormieren
> > Gram-Schmidt verwenden. Jegliches Skalarprodukt, jegliche
> > Norm geht mit Deiner speziellen Bilinearform.
>
> Ok,das hab ich mir schon gedacht,dass es schwer wird eine
> ONB zu finden,man muss zuerst eine Basis finden und sie
> dann ortnomalisieren.
>
> lg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 19.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> > Du mißachtest, daß die Aufgabe nicht von
> > Standardskalarprodukt handelt, sondern von der durch G
> > definierten Bilinearform mit [mm]f(x,y)=x^{T}Gy.[/mm]
>
> Ok,ich habe meinen Fehler erkannt und habe die Aufgabe
> nochmal gemacht.
>
> a) Es ist [mm]U=\IR(1,1,0)^{T}=Span_{\IR}\{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}\}=\{r\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 0}|r \in \IR\}.[/mm]
>
> Seien alle Elemente aus [mm]U^{\perp}[/mm] von der Form [mm]\vektor{x \\ y \\ z}.Dann[/mm]
> muss gelten:
> [mm](1,1,0)*\pmat{ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 }* \vektor{x \\ y \\ z}=x+y-z[/mm]
Ich hab nochmal eine Frage hierzu.Ich hab jetzt einfach (1,1,0)*... gerechnet und hab somit automatisch das r=1 gesetzt,aber es muss doch für alle r gelten.Stimmt die Rechnung dann trotzdem noch und müsste ich nicht (r,r,0)*... rechnen?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo,
zwei Gegenfragen:
1. Was bekommst Du denn, wenn Du "mit r" rechnest?
2. Wenn f eine Bilinearform ist, was weißt Du dann über [mm] f(rv_1,v_2)?
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> b) Man ordne folgende Paare von Vektoren in V nach dem von
> ihnen eingeschlossenen Winkel.
>
> [mm](\vektor{1 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
1 \\
0}),(\vektor{1 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
0 \\
1}),(\vektor{1 \\
1 \\
1},\vektor{1 \\
0 \\
0})[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich hab mal die b) gemacht, aber ich bekomme da zwei
> verschiedene Ergebnisse für einen Winkel und finde den
> Fehler nicht.
>
> Zuerst berechne ich den Winkel zwischen den Zwei Vektoren
> dieses Paares [mm](\vektor{1 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
1 \\
0}).[/mm]
>
> Seien [mm]x=\vektor{1 \\
0 \\
0}[/mm] und [mm]y=\vektor{0 \\
1 \\
0},[/mm]
> für den Winkel [mm]\alpha[/mm] zwischen x und y gilt:
> [mm]cos(\alpha)=\bruch{f(x,y)}{|x|*|y|}.[/mm]
>
> Es gilt allgemein für zwei Vektoren aus V:
>
> [mm]f(x,y)=2*x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+2x_{2}y_{2}-x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+2x_{3}x_{3}.[/mm]
Hallo,
ja.
> Das habe ich der Gramschen Matrix [mm]G=\pmat{ 2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2 }[/mm]
> entnommen.
>
> Setze ich jeweils die Koordinaten für [mm]x=\vektor{1 \\
0 \\
0}[/mm]
> und [mm]y=\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] ein, bekomme ich f(x,y)=-1,
Ja.
> damit wäre [mm]\alpha=180°.[/mm]
Was ist denn |x| und |y|?
>
> In Wirklichkeit
Was meinst Du mit "Wirklichkeit"?
> ist es aber f(x,y)=x*y=0, also
> [mm]\alpha=90°.[/mm]
Beim Standardskalarprodukt ist das so - aber Du hast hier nicht das Standardskalarprodukt!
Gruß v. Angela
|
|
|
|
