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| Aufgabe | Gegeben die Vektoren [mm] (x_{1},...x_{n}). [/mm] Die orthonormalisierten Vektoren (e1,...en) sind durch das Gram-Schmidtverfahren so berechenbar:
[mm] e_{1} [/mm] = [mm] w_{1} [/mm] / [mm] ||w_{1}||_{2} [/mm] mit [mm] w_{k}= x_{k} [/mm] - [mm] e_{1} [/mm] - [mm] e_{2} [/mm] ... - [mm] e_{k-1} [/mm]
Dass die (e1,...en) normalisiert sind ist klar, aber wie beweist man die Orthogonalität? |
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Hallo saftigeszebra,
> Gegeben die Vektoren [mm](x_{1},...x_{n}).[/mm] Die
> orthonormalisierten Vektoren (e1,...en) sind durch das
> Gram-Schmidtverfahren so berechenbar:
> [mm]e_{1}[/mm] = [mm]w_{1}[/mm] / [mm]||w_{1}||_{2}[/mm] mit [mm]w_{k}= x_{k}[/mm] -
> [mm] e_{1}[/mm] - [mm] e_{2}[/mm] ... -
> [mm] e_{k-1}[/mm]
>
> Dass die (e1,...en) normalisiert sind ist klar, aber wie
> beweist man die Orthogonalität?
Multipliziere die Gleichung
[mm]w_{k}= x_{k} - e_{1} - e_{2} \ \dots \ - e_{k-1}=x_{k}-\summe_{i=1}^{k-1} e_{i}[/mm]
skalar mit [mm]e_{j}, \ 1 \le j < k[/mm] durch.
Verwende dann die Tatsache, daß
[mm]=0, \ 1 \le j < k[/mm]
sowie
[mm] = \left\{\begin{matrix}0, & i \not= j \\ 1, & i=j}\end{matrix}\right[/mm]
Damit erhältst Du dann eine Identität.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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Gruß
MathePower
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