Gradmaß vs. Bogenmaß < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 So 22.02.2015 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | | [mm] f_{(x)}= [/mm] arctan(x) - [mm] \bruch{1}{3} x^3 [/mm] +x +1 |
Hallo,
ich bräuchte bitte eine Hilfestellung zur Anwendung von Gradmaß/Bogenmaß.
Die obige Funktion wird betrachtet.
Wenn ich ein gefundenes Extremum, [mm] \wurzel[4]{2}, [/mm] in die Gleichung einsetze um den zugehörigen Funktionswert zu finden, wie muss ich den Taschenrechner einstellen?
Ist der Taschenrechner auf Deg (also Gradmaß) gestellt, so ist [mm] arctan(\wurzel[4]{2})=49,... [/mm] und bei Rad (also bogenmaß) = 0,87...
Was wäre hier die korrekte Einstellung und warum?
(Danke, ist wohl eher keine Hochschulmathe-Frage, aber ich hab das jetzt seit jahren nichtmehr gebraucht. wäre dankbar für eine Antwort!)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 So 22.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> [mm]f_{(x)}=[/mm] arctan(x) - [mm]\bruch{1}{3} x^3[/mm] +x +1
>
> Hallo,
> ich bräuchte bitte eine Hilfestellung zur Anwendung von
> Gradmaß/Bogenmaß.
> Die obige Funktion wird betrachtet.
> Wenn ich ein gefundenes Extremum, [mm]\wurzel[4]{2},[/mm] in die
> Gleichung einsetze um den zugehörigen Funktionswert zu
> finden, wie muss ich den Taschenrechner einstellen?
>
> Ist der Taschenrechner auf Deg (also Gradmaß) gestellt, so
> ist [mm]arctan(\wurzel[4]{2})=49,...[/mm] und bei Rad (also
> bogenmaß) = 0,87...
>
> Was wäre hier die korrekte Einstellung und warum?
>
> (Danke, ist wohl eher keine Hochschulmathe-Frage, aber ich
> hab das jetzt seit jahren nichtmehr gebraucht. wäre
> dankbar für eine Antwort!)
>
>
Du kannst dir zB durch eine simple Einheitenkontrolle überlegen, welche Einheit deine Funktion haben sollte, wenn du dir die Funktionsdefinition ansiehst.
x als Argument der arctan() Funktion muss ja wohl dimensionslos sein.
Wäre f(x) in der Pseudoeinheit Grad anzugeben, hättest du dimensionslose Größen (1, x, [mm] x^3) [/mm] und eine Größe der Einheit Grad (arctan(x) ) zu addieren - Addieren kannst du aber nur Größen gleicher Dimension.
Das, als Längenverhältnis definierte, dimensionslose Bogenmaß ist hier also ein Muss.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 So 22.02.2015 | | Autor: | SoWhat |
Danke! Das hat geholfen :) !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 So 22.02.2015 | | Autor: | hippias |
Ich moechte sagen, dass mich diese Begruendung nicht ueberzeugt. Waere diese Einheitenbetrachtung immer sinnvoll, dann duerfte man ja nicht einmal Funktionsterme wie [mm] $x^{2}+x+1$ [/mm] zulassen, weil hier offensichlich "Flaechen", "Laengen" und einheitenlose Groessen addiert werden. Es muessten bei dieser betrachtungsweise auch moegliche Einheiten der Vorfaktoren beruecksichtigt werden: die $1$ vor dem [mm] $x^{2}$ [/mm] koennte die Einheit Flaeche^${-1}$ usw. haben.
Entscheidend fuer die Wahl der Einheit beim Rechnen mit Winkeln ist, dass saemtliche Ableitungsregeln fuer die trigonometrischen Funktionen nur gelten, wenn das Argument die Einheit Bogenmass hat.Im Gradmass waere [mm] $\frac{d}{dx}\sin [/mm] x= [mm] \frac{\pi}{180}\cos [/mm] x$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 So 22.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Ich moechte sagen, dass mich diese Begruendung nicht
> ueberzeugt. Waere diese Einheitenbetrachtung immer
> sinnvoll, dann duerfte man ja nicht einmal Funktionsterme
> wie [mm]x^{2}+x+1[/mm] zulassen,
Darf man auch nicht, wenn x nicht dimensionslos sein soll!
> weil hier offensichlich "Flaechen",
> "Laengen" und einheitenlose Groessen addiert werden.
Du unterstellst jetzt also automatisch, dass x eine Länge sein soll.
> Es muessten bei dieser betrachtungsweise auch moegliche
> Einheiten der Vorfaktoren beruecksichtigt werden: die [mm]1[/mm] vor
> dem [mm]x^{2}[/mm] koennte die Einheit Flaeche^[mm]{-1}[/mm] usw. haben.
Ganz genau!! Und diese Einheiten der Koeffizienten müssen auch da stehen, das ist der Punkt. Einfach die "passende" Dimension implizit annehmen und vielleicht auch noch die passende Einheit nach dem Motto "ist ja ohnedies klar, was das sein muss" ist schlampig, gefährlich und provoziert (und produziert) Fehler. Am Ende sollten es dann vielleicht doch Zoll und nicht cm sein, oops. Gerade empirische Formeln, die auch heute noch im technischen Bereich sehr oft verwendet werden da die Referenzliteratur meist schon älter ist, sind hier sehr gefährlich. Da nutzen dann auch moderne Rechenknechte, die mit Einheiten umgehen können, nicht mehr so viel. In der Mathematik wird all zu oft aus Bequemlichkeit auf das mit"schleppen" und leider oft sogar auch auf das mit"denken" der Einheiten verzichtet und man beraubt sich damit unnötigerweise einer sehr mächtigen und hilfreichen Kontrollmöglichkeit.
>
> Entscheidend fuer die Wahl der Einheit beim Rechnen mit
> Winkeln ist, dass saemtliche Ableitungsregeln fuer die
> trigonometrischen Funktionen nur gelten, wenn das Argument
> die Einheit Bogenmass hat.Im Gradmass waere
> [mm]\frac{d}{dx}\sin x= \frac{\pi}{180}\cos x[/mm].
Na, wenn schon penibel dann ordentlich mit Pseudoeinheit, also [mm]\frac{d}{dx}\sin x= \frac{\pi}{180^{\boldsymbol{\color{Blue}\circ}}}*\cos x[/mm], denn die Ableitung der dimensionslosen Funktion Sinus nach dem Winkel x in Grad muss natürlich die "Einheit" [mm] $\br{1}{^\circ} [/mm] haben. 
Man dürfte da auch sin(x) und seine Ableitung auch nicht im gleichen Koordinatensystem zeichnen, wenn man die Abszisse in Grad skaliert.
Die Pseudoeinheit Grad hat halt so manche Tücke, aber richtig eklig wirds oft dann, wenns um Temperaturen geht und man nicht bei Kelvin oder Rankine bleibt.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Mo 23.02.2015 | | Autor: | hippias |
Obwohl eine Einheitenanalyse des vereinfachten Beispiels $f(x)= [mm] \arctan(x)$ [/mm] zu keiner speziellen Forderung an die Einstellung des Taschenrechners fuehrt, MUSS der Taschenrechner trotzdem ins Bogenmass gestellt werden, wenn man seine Dienste beim Arbeiten mit den Ableitungen dieser Funktion in Anspruch nehmen moechte; jedenfalls, wenn man die uebliche Ableitung dieser Funktion benutzt. Die Einstellung des TR laesst sich also nicht anhand einer "Einheiten"betrachtung entscheiden, sondern ueber die Frage, ob und welche Ableitungen einer trigonometrischen Funktion benutzt werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Mo 23.02.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Obwohl eine Einheitenanalyse des vereinfachten Beispiels
> [mm]f(x)= \arctan(x)[/mm] zu keiner speziellen Forderung an die
> Einstellung des Taschenrechners fuehrt
Doch. Denn zu einer Funktion gehoeren Definitions- und Wertebereich. Und es ist ein Unterschied, ob man
[mm] $\arctan: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
[/mm]
oder
[mm] $\arctan: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cdot ^{\circ}$
[/mm]
betrachtet. Im ersten Fall muss man das Bogenmass nehmen, im zweiten das Gradmass. (Ich hoffe, es ist klar, was ich mit der Multiplikation einer Menge mit einer Zahl meine?)
> , MUSS der
> Taschenrechner trotzdem ins Bogenmass gestellt werden, wenn
> man seine Dienste beim Arbeiten mit den Ableitungen dieser
> Funktion in Anspruch nehmen moechte; jedenfalls, wenn man
> die uebliche Ableitung dieser Funktion benutzt. Die
> Einstellung des TR laesst sich also nicht anhand einer
> "Einheiten"betrachtung entscheiden, sondern ueber die
> Frage, ob und welche Ableitungen einer trigonometrischen
> Funktion benutzt werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Mo 23.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Obwohl eine Einheitenanalyse des vereinfachten Beispiels
> [mm]f(x)= \arctan(x)[/mm] zu keiner speziellen Forderung an die
> Einstellung des Taschenrechners fuehrt, MUSS der
> Taschenrechner trotzdem ins Bogenmass gestellt werden, wenn
> man seine Dienste beim Arbeiten mit den Ableitungen dieser
> Funktion in Anspruch nehmen moechte; jedenfalls, wenn man
> die uebliche Ableitung dieser Funktion benutzt.
Nun, wenn man f(x) in Grad haben möchte muss man sich bewußt sein, dass man die Funktion [mm]f(x)= \arctan(x)*\br{180^\circ}{\pi}[/mm] betrachtet und hat diesen Faktor natürlich auch bei allen weiteren Operationen wie zB Ableitungen zu berücksichtigen. Hier zeigt sich deutlich, dass Grad eben nur eine Pseudoeinheit (Hilfsmaßeinheit, Pseudomaß) für eine Größe (Winkel) der Dimension Zahl ist. So wie wenn ich eine Anzahl in Dutzend messen möchte, da muss ich ja dann auch den Faktor Dutzend/12 dranhängen und in weiterer Folge berücksichtigen.
Was aber problematisch ist ist ein Ausdruck wie [mm] \arctan(x)*\br{180^\circ}{\pi}+x[/mm] , das war doch der Kern der Frage.
So ein Ausdruck ist zwar genauso OK wie etwa [mm]2 Dutzend + 6[/mm], aber man darf halt nicht einfach 2 und 6 addieren sondern muss entweder auf $2,5 Dutzend$ oder auf $30$ bringen.
Man darf also seinen Taschenrechner gern ins Gradmaß schalten, um [mm] $arctan(1)+\pi$ [/mm] auszurechnen, aber man muss sich halt bewußt sein, dass man dann [mm] \pi [/mm] ebenfalls im Gradmaß zu messen hat um 225° zu erhalten.
So gesehen muss ich meine ursprüngliche Antwort korrigieren, als vom Standpunkt einer Einheitenkontrolle grundsätzlich nichts dagegen spricht, Werte in Grad und Werte in Radiant zu addieren, da es sich in beiden Fällen um benennungslose Größen der Dimension Zahl handelt.
Gruß Rmix
> Einstellung des TR laesst sich also nicht anhand einer
> "Einheiten"betrachtung entscheiden, sondern ueber die
> Frage, ob und welche Ableitungen einer trigonometrischen
> Funktion benutzt werden.
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> > [mm]f_{(x)}=[/mm] arctan(x) - [mm]\bruch{1}{3} x^3[/mm] +x +1
> >
> > Hallo,
> > ich bräuchte bitte eine Hilfestellung zur Anwendung
> von
> > Gradmaß/Bogenmaß.
> > Die obige Funktion wird betrachtet.
> > Wenn ich ein gefundenes Extremum, [mm]\wurzel[4]{2},[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Beachte, dass dieser Wert, nämlich [mm] $\sqrt[4]{2} \approx [/mm] 1.189$
kein Extremum (Extremwert), sondern eine Extremalstelle
der betrachteten Funktion ist, und zwar eben auch nur für
den Fall, dass x als Winkel im Bogenmaß interpretiert wird.
Das zugehörige Extremum, in diesem Fall ein lokales
Maximum, ist der zugehörige Funktionswert, nämlich 2.5 .
Man könnte dieselbe Aufgabe auch mit der anderen
Interpretation (also x = Winkel in Grad) lösen und käme
dann auf ein Maximum mit dem Wert [mm] \approx [/mm] 66.84 an der
Stelle x [mm] \approx [/mm] 2.763 .
LG
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