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| Aufgabe | Gegeben seien die Funktionen
f(x,y) = [mm] ln( \wurzel{x^{2}+ y^{2}} )[/mm]
und g(x,y) = [mm] [mm] arctan(\bruch{y}{x})
[/mm]
a) Wie lauten die maximalen Definitionsbereiche Df und Dg von f und g ?
b) Man berechne die Gradienten von f und g.
c)Wie lauten die Gleichungen der Tangenten an die Höhenlinien jeweils durch (x,y) = (2,1) von f und g?
d)Man berechne für den Graphen von f einen Normalenvektor an der Stelle (2, 2, f(2,2)).
e) Sind f und g inihrem Definitionsbereich differenzierbar? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schönen guten Abend !
Ich würde mich sehr freuen wenn jemand die Lösungen nochmal gegenrechnen bzw. korrigieren könnte.
Ich habe zwar alle Aufgaben gelöst aber bin mir um die Richtigkeit meiner Lösungwege unsicher!
a) Aus der Formelsammlung geht für den Definitionsbereich des natürlichen Logharithmus hervor:;[mm] Df = ( 0;\infty)[/mm]
(Muss ich berücksichtigen das im ln Term zwei Terme gibt?,
oder darf ich den Df einfach aus der Formelsammlung entnehmen)
Analog für den Arctan: [mm] Dg = ( - \infty; + \infty)[/mm]
b) zuerst Umformen:
[mm] f(x,y) = ln ( \wurzel{x^{2} + y^{2}} ) = \bruch{1}{2} * ln ( x^{2} + y^{2} ) [/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} = \bruch{x}{x^{2} + y^{2}} [/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y} = \bruch{y}{x^{2} + y^{2}} [/mm]
--> [mm] grad f(x,y) = ( \bruch{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} , \bruch{y^{2}}{x^{2} + y^{2}} ) [/mm]
Analog für g(x,y) ----> [mm] grad g(x,y) = ( \bruch{1}{y + y *x^{2}} , \bruch{y^{x}}{1 + y^{-2}} ) [/mm]
c) Ich weiss nicht ob ich die Frage hier richtig verstehe, falls nach der Tangentialebene ( Hypereben) gefragt ist ( wovon ich ausgehe ) müsste man hier folgendes tun:
Für f und g gilt: [mm] z - z0 = \bruch{\partial f(2,1)}{\partial x} * x + \bruch{\partial f(2,1)}{\partial y} * y [/mm]
x = 2 und y =1 in die Partialbrüche einsetzen liefert vorläufig für f:
[mm] z - z0 = \bruch{2}{5} * x + \bruch{1}{5} * y [/mm]
Mit z = f (x,y) und Einsetzen von x = 2 und y = 1:
[mm] z0 = \bruch{1}{10} [/mm]
Damit folgt für die Ebenengleichung:
[mm] z = \bruch{2}{5}*x + \bruch{1}{5}*y - \bruch{1}{10} [/mm]
Analog würde ich das Vefahren bei g durchführen!.
(Es müsste aber (geschweigedenn das obige Ansätze richtig sind eine einfachere Rechnung geben ?! ).
d) Weil f : R² -> R² gilt n = 1 und somit gilt:
[mm] \vec{n} = -(grad f(x,y), n ) = -(grad f(2,2), 1 ) [/mm]
grad f(2,2) --->
[mm] \bruch{\partial f(2,2)}{\partial x} = \bruch{1}{4} [/mm]
[mm] \bruch{\partial f(2,2)}{\partial y} = \bruch{1}{4} [/mm]
--> [mm] \vec{n} = \vektor{-1\\ -1 \\ 4} [/mm] (mit 4 multipliziert!)
e) Ich habe keinen Ansatz für ein geeignetes Verfahren!
Daher kann ich nur versuchen "logisch" vorzugehen:
- f und g sind stetig in ihren Definitionsbereichen .
Sie können daher an allen Stellen bis auf jeweils x = 0 differenziert werden ! (sehr dürfige begründung oder?! ).
Ich hoffe das mir hier geholfen werden kann und das es nicht dreist erscheint hier eine ganze Aufgabe reinzuposten! 
Vielen vielen Dank!
hab ein paar werte, falsch abgetippt bzw vergessen !!(Part.Abl zu f und ebenengleichung)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Fr 02.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo heinemann
> Gegeben seien die Funktionen
>
> f(x,y) = [mm]ln( \wurzel{x^{2}+ y^{2}} )[/mm]
> und g(x,y) = [mm][mm]arctan(\bruch{y}{x})[/mm]
a) Wie lauten die maximalen Definitionsbereiche Df und Dg von f und g ?
b) Man berechne die Gradienten von f und g.
c)Wie lauten die Gleichungen der Tangenten an die Höhenlinien jeweils durch (x,y) = (2,1) von f und g?
d)Man berechne für den Graphen von f einen Normalenvektor an der Stelle (2, 2, f(2,2)).
e) Sind f und g inihrem Definitionsbereich differenzierbar?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schönen guten Abend !
Ich würde mich sehr freuen wenn jemand die Lösungen nochmal gegenrechnen bzw. korrigieren könnte.
Ich habe zwar alle Aufgaben gelöst aber bin mir um die Richtigkeit meiner Lösungwege unsicher!
a) Aus der Formelsammlung geht für den Definitionsbereich des natürlichen Logharithmus hervor:;[mm] Df = ( 0;\infty)[/mm]
aber du musst den doch fuer x, y angeben! du hast den Df von lnx angegeben! hier ist [mm] Df=\IR^2
[/mm]
(Muss ich berücksichtigen das im ln Term zwei Terme gibt?,
oder darf ich den Df einfach aus der Formelsammlung entnehmen)
Nein!
Analog für den Arctan: [mm]Dg = ( - \infty; + \infty)[/mm]
was ist fuer x=0? Df heisst fuer welche Elemente aus dem Bereich (hier [mm] \IR^2) [/mm] ist die Fkt definiert.
b) zuerst Umformen:
[mm]f(x,y) = ln ( \wurzel{x^{2} + y^{2}} ) = \bruch{1}{2} * ln ( x^{2} + y^{2} )[/mm]
[mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} = \bruch{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}[/mm]
falsch, im Zaehler steht 2x nicht [mm] x^2
[/mm]
[mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y} = \bruch{y^{2}}{x^{2} + y^{2}}[/mm]
--> [mm]grad f(x,y) = ( \bruch{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} , \bruch{y^{2}}{x^{2} + y^{2}} )[/mm]
Analog für g(x,y) ----> [mm]grad g(x,y) = ( \bruch{1}{y + y *x^{2}} , \bruch{y^{x}}{1 + y^{-2}} )[/mm]
Auch hier hast du die Kettenregel wohl falsch verwendet, ich versteh nicht wie du auf das Ergebnis kommst.
c) Ich weiss nicht ob ich die Frage hier richtig verstehe, falls nach der Tangentialebene ( Hypereben) gefragt ist ( wovon ich ausgehe ) müsste man hier folgendes tun:
Die Tangentialebene waer eine echte keine Hyperebene an den graph der Fkt.
gefragt ist nach den Tangenten (geraden) an die Hoehenlinien, dass sind die Linien f(x,y)=const in der Ebene. der grad steht senkrecht auf den Hoehenlinien, also musst du ddie Gerade in der x-y ebene bestimmen, die durch den geg. Pkt geht und senkrecht zum grad an dem punkt ist.
Für f und g gilt: [mm]z - z0 = \bruch{\partial f(2,1)}{\partial x} * x + \bruch{\partial f(2,1)}{\partial y} * y[/mm]
x = 2 und y =1 in die Partialbrüche einsetzen liefert vorläufig für f:
[mm]z - z0 = \bruch{2}{5} * x + \bruch{1}{5} * y[/mm]
Mit z = f (x,y) und Einsetzen von x = 2 und y = 1:
[mm]z0 = \bruch{1}{10}[/mm]
Damit folgt für die Ebenengleichung:
[mm]z = \bruch{2}{5} + \bruch{1}{5} - \bruch{1}{10}[/mm]
Das ist ne Zahl und keine Ebenen gleichung.
Analog würde ich das Vefahren bei g durchführen!.
(Es müsste aber (geschweigedenn das obige Ansätze richtig sind eine einfachere Rechnung geben ?! ).
d) Weil f : R² -> R² gilt n = 1 und somit gilt:
was das n=1 soll weiss ich nicht, den Rest versteh ich leider nicht, und kann nicht sagen obs richtig ist.
f ist ne Abbildung R² -> R,
den Graphen kann man parametrisieren mit g=(x,y,f(x,y)
dann ist ein Tangentenvektor [mm] (1,0,f_x), [/mm] ein anderer [mm] (0,1,f_y) [/mm] eine Normale das Kreuzprodukt.
[mm]\vec{n} = -(grad f(x,y), n ) = -(grad f(2,2), 1 )[/mm]
grad f(2,2) --->
[mm]\bruch{\partial f(2,2)}{\partial x} = \bruch{1}{4}[/mm]
[mm]\bruch{\partial f(2,2)}{\partial y} = \bruch{1}{4}[/mm]
--> [mm]\vec{n} = \vektor{-1\\ -1 \\ 4}[/mm] (mit 4 multipliziert!)
e) Ich habe keinen Ansatz für ein geeignetes Verfahren!
Daher kann ich nur versuchen "logisch" vorzugehen:
- f und g sind stetig in ihren Definitionsbereichen .
Sie können daher an allen Stellen bis auf jeweils x = 0 differenziert werden ! (sehr dürfige begründung oder?! ).
Das ist voellig falsch, es gibt Funktionen, die ueberall stetig, und nirgends differenzierbar sind.
Sieh dir die Def. von Differenzierbarkeit fuer mehrdim. Funktionen noch mal an.
Gruss leduart
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Tut mir leid ich habe gestern fehlerhaft abgetippt!
Aus den part Ableitungen folgt natürlich für f:
nach x:
[mm] grad f(x,y) = ( \bruch{x}{x^{2} + y^{2}} ) [/mm] und
nach y:
[mm] grad f(x,y) = ( \bruch{y}{x^{2} + y^{2}} ) [/mm] .
und für g:
nach x:
[mm] grad f(x,y) = ( \bruch{y}{y^{2} + x^{2}} ) [/mm]
nach y:
[mm] grad f(x,y) = - ( \bruch{x}{y^{2} + x^{2}} ) [/mm].
Desweiteren sollte die Ebenengleichung letztlich so aussehen:
[mm] z = \bruch{2}{5} * x + \bruch{1}{5} * y - \bruch{1}{10} [/mm] .
Zu d) das mit dem n = 1 habe ich aus einem skript für Bauingenieure:
http://www.math.tu-dresden.de/~koksch/lectures/Bauingenieure/BauIng-Ma1.pdf : Seite 174 , Zeile 7; Angewendet: Seite 175, Zeile 1.
Demnach müsste ich bei einer Geraden n = 1 (Ebene: n = 2) setzen ?!.
Aber vielen dank, auf die Fakorisierung bin ich nicht gekommen!!!
Klingt einleuchtend!Auch wenn ich noch nicht ganz verstehe, weshalb man die ableitung nach x in die z koordinate legt .
(führt zum selben Ergebnis).
-> Ich werde Aufgabe e) nachmal bearbeiten sofern der Rest nun stimmt!
Vielen Dank!!!
Gruß,
Heinemann
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 04.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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