Gradient,Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:39 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
g (x,y,z) = [mm] 2x^2 [/mm] - 3y +4 z
a) berechnen sie den Gradienten: g (1,1,2)
nach x ableiten: 4x
nach y: -3
nach z: 4
wäre jetzt mein Gradient für g(1,1,2) --> (4,3,4)
ist das so richtig?
dann soll man noch folgendes berechnen:
[mm] \frac{d^2g}{dx^2}+ \frac{d^2g}{dy^2} [/mm] + [mm] \frac{d^2g}{dz^2}
[/mm]
wenn da d^2g steht ist ja die zweite ableitung gemeint, stimmt?
dann würde jedoch nicht viel übrigbleiben:S
für x:4
y=0
z=0 ...
und wie bringe ich dieses [mm] x^2 [/mm] , [mm] y^2 [/mm] etc ein ? :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:51 Sa 19.02.2011 | | Autor: | QCO |
> wäre jetzt mein Gradient für g(1,1,2) --> (4,3,4)
> ist das so richtig?
Da du ja richtigerweise ausgerechnet hast [mm]\bruch{d f}{d y} = -3[/mm], muss der Gradient [mm](4, -3, 4)[/mm] sein.
> wenn da d^2g steht ist ja die zweite ableitung gemeint,
> stimmt?
[..]
> und wie bringe ich dieses [mm]x^2[/mm] , [mm]y^2[/mm] etc ein ? :S
Beides zusammen ist die zweite Ableitung. [mm]\bruch{d g}{d x}[/mm] ist die erste partielle Ableitung nach [mm]x[/mm], [mm]\bruch{d^2 g}{d x^2}[/mm] die zweite partielle Ableitung zwei mal nach [mm]x[/mm] und [mm]\bruch{d g^2}{d x \ d y}[/mm] entsprechend die zweite partielle Ableitung nach [mm]x[/mm] und dann nach [mm]y[/mm].
Da bleibt tatsächlich nur [mm]\bruch{d^2 g}{d x^2} + \bruch{d^2 g}{d y^2} + \bruch{d^2 g}{d z^2} = 4[/mm] stehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
was ist eigentlich wenn ich die zweite taylorreihe berechnen soll...
aber meine zweite ableitung mir lediglich eine zahl liefert... ?
existiert T2 dann nicht oder ist es dann nur T0+T1 ??
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Hallo,
> was ist eigentlich wenn ich die zweite taylorreihe
> berechnen soll...
Was ist die 2te Taylorreihe?
Meinst du Taylorpolynom der Ordnung 2?
>
> aber meine zweite ableitung mir lediglich eine zahl
> liefert... ?
Das Ding hat insgesamt 6 Summanden (für eine Fkt. in 2 Variablen).
Für eine Fkt. in 3 Variablen wird's stressiger, sprich: unübersichtlicher, weil komplexer ...
Du brauchst ja die Taylorformel für Funktionen in mehreren Variablen.
Schaue dir die mal auf Wikipedia oder im Skript an, die Multiindexversion.
Nimm mal an, du hast eine Funktion [mm]f(x_1,x_2)[/mm] und willst das TP 2.Ordnung in [mm]a=(a_1,a_2)[/mm] bestimmen.
Schreibe mal ganz allg. die Summanden in dem TP hin ...
Das ist die beste Übung, um zu verstehen, wie das Biest aussieht und wie du es dann berechnen kannst ...
> existiert T2 dann nicht oder ist es dann nur T0+T1 ??
Das verstehe ich leider nicht ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
also die funktion war: 1/2 [mm] (x-1)^2
[/mm]
f´(x)=(x-1)
f´´(x)=1
x0=1
wenn ich jetzt
To berechne kommt da Null raus
für T1 genauso..
so und die zweite ableitung ist 1... da ist kein x mit bei wo ich die entwicklungsstelle einsetzen kann... folgt dauraus dass T2 auch null ist?
oder existiert sie erst gar nicht :S
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Hallo Bilmem,
> also die funktion war: 1/2 [mm](x-1)^2[/mm]
>
> f´(x)=(x-1)
>
> f´´(x)=1
>
> x0=1
>
> wenn ich jetzt
>
> To berechne kommt da Null raus
>
> für T1 genauso..
> so und die zweite ableitung ist 1... da ist kein x mit bei
> wo ich die entwicklungsstelle einsetzen kann... folgt
> dauraus dass T2 auch null ist?
Nein.
Es ist
[mm]T_{2}\left(x\right)=f\left(1\right)+f'\left(1\right)*\left(x-1\right)+\bruch{f''\left(1\right)}{2}*\left(x-1\right)^{2}=0+0*\left(x-1\right)}+\bruch{1}{2}*\left(x-1\right)^{2}[/mm]
>
> oder existiert sie erst gar nicht :S
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Bilmem |
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\left(x-1\right)^{2}
[/mm]
wie kommst du jetzt da drauf ??
die funktion ist [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\left(x-1\right)^{2}
[/mm]
und die zweite ableitung davon wäre 1
wenn ich jetzt T2 berechne müsste ich doch:
T2(x)= T1(x)+ f´´(x) / 2! * [mm] (x-1)^2
[/mm]
rechnen...hast du dort einfach die 1 eingesetzt?
hier stimmt die zweite ableitung ja mit der entwicklungsstelle überein, dürfte man das auch wenn die entwicklungsstelle 3 wäre und die zweite ableitung 1 ?
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Hallo Bilmem,
> [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}\left(x-1\right)^{2}[/mm]
>
> wie kommst du jetzt da drauf ??
>
> die funktion ist [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}\left(x-1\right)^{2}[/mm]
>
> und die zweite ableitung davon wäre 1
>
> wenn ich jetzt T2 berechne müsste ich doch:
>
> T2(x)= T1(x)+ f´´(x) / 2! * [mm](x-1)^2[/mm]
Nein, die Formel hat MP dir oben ausgeschrieben präsentiert.
Kompakt: [mm] $T_2(x,1)=\sum\limits_{k=0}^{2}\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k$
[/mm]
Da hat dein [mm] $T_1$ [/mm] nix verloren ...
>
> rechnen...hast du dort einfach die 1 eingesetzt?
Nein, er kann die Formeln lesen
>
> hier stimmt die zweite ableitung ja mit der
> entwicklungsstelle überein, dürfte man das auch wenn die
> entwicklungsstelle 3 wäre und die zweite ableitung 1 ?
Die Übereinstimmung $f''(1)=1$ ist rein zufällig!
Die Formel kannst du benutzen!
Gruß
schachuzipus
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Toll, dass du so schön durcheinander postest und ohne was zu sagen ...
Mann Mann Mann
Albern ist das!
So kann man dir bestimmt helfen, echt ey ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
schachuzipus
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