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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Gradient Aufgaben
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Gradient Aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Mi 09.05.2012
Autor: PhysikGnom

Aufgabe
b)Berechnen Sie:
i)
[mm] |\vec{\nabla}\frac{1}{r}|^2 [/mm]

ii)
[mm] |\frac{1}{r}\vec{\nabla} [/mm] | [mm] \vec{\nabla}\frac{1}{r}|| [/mm]

iii)
[mm] \frac{1}{r} \vec{e_{r}}\cdot \vec{\nabla} (\vec{e_{r}}\cdot \vec{ \nabla} \frac{1}{r}) [/mm]

wobei r = [mm] |\vec{r}| [/mm]  und [mm] \vec{e_{r}} [/mm] = [mm] \frac{\vec{r}}{r} [/mm]

Hallo Mathefreunde :)

Also ich fang mal bei der i) an, da weiß ich nicht genau was ich mit dem Betrag anfangen soll. Der Gradient ist doch
[mm] \bruch{\vec{r}}{r^3} [/mm] und jetzt muss ich ja erstmal den Betrag davon nehmen:
Ist das dann:
[mm] \wurzel[2]{(\bruch{x}{r^3})^2+(\bruch{y}{r^3})^2+(\bruch{z}{r^3})^2} [/mm]

Kommt mir doch ein wenig seltsam vor, könnte ich das noch irgendwie vereinfachen? hm

Gruß und schönen Abend noch :)

        
Bezug
Gradient Aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Mi 09.05.2012
Autor: notinX

Hallo,

> b)Berechnen Sie:
>  i)
>  [mm]|\vec{\nabla}\frac{1}{r}|^2[/mm]
>  
> ii)
>  [mm]|\frac{1}{r}\vec{\nabla}[/mm] | [mm]\vec{\nabla}\frac{1}{r}||[/mm]
>
> iii)
>  [mm]\frac{1}{r} \vec{e_{r}}\cdot \vec{\nabla} (\vec{e_{r}}\cdot \vec{ \nabla} \frac{1}{r})[/mm]
>
> wobei r = [mm]|\vec{r}|[/mm]  und [mm]\vec{e_{r}}[/mm] = [mm]\frac{\vec{r}}{r}[/mm]
>  Hallo Mathefreunde :)
>  
> Also ich fang mal bei der i) an, da weiß ich nicht genau
> was ich mit dem Betrag anfangen soll. Der Gradient ist
> doch
>  [mm]\bruch{\vec{r}}{r^3}[/mm] und jetzt muss ich ja erstmal den

nicht ganz:
[mm] $\nabla\frac{1}{r}={\color{red}-}\frac{\vec{r}}{r^{3}}$ [/mm]

mit [mm] $r:=\left|\vec{r}\right|$ [/mm]

> Betrag davon nehmen:
>  Ist das dann:
>  
> [mm]\wurzel[2]{(\bruch{x}{r^3})^2+(\bruch{y}{r^3})^2+(\bruch{z}{r^3})^2}[/mm]

Das stimmt, sieht aber nicht sehr elegant aus.

>  
> Kommt mir doch ein wenig seltsam vor, könnte ich das noch
> irgendwie vereinfachen? hm

In Nenner steht schon etwas positives, also musst Du nur noch den Betrag des Zählers bestimmen:
[mm] $\left|-\frac{\vec{r}}{r^{3}}\right|=\frac{\left|\vec{r}\right|}{r^3}$ [/mm]
Den Rest bekommst Du sicher alleine hin.

>  
> Gruß und schönen Abend noch :)


Gruß,

notinX

Bezug
                
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Gradient Aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Mi 09.05.2012
Autor: PhysikGnom

Hallo notinx, danke für deine Antwort zur späten Stunde :)

Bedeutet das das ich dann das hier skalar multiplizieren muss:

[mm] \wurzel[2]{(\bruch{x}{r^3})^2+(\bruch{y}{r^3})^2+(\bruch{z}{r^3})^2} [/mm] * [mm] \wurzel[2]{(\bruch{x}{r^3})^2+(\bruch{y}{r^3})^2+(\bruch{z}{r^3})^2} [/mm]

also jetzt das [mm] \frac{\left|\vec{r}\right|}{r^3} [/mm] * [mm] \frac{\left|\vec{r}\right|}{r^3} [/mm] ausgeschrieben, dann würde ich ja:

[mm] \bruch{x^2+y^2+z^2}{r^6} [/mm] rausbekommen, stimmt das??

Lg !




Bezug
                        
Bezug
Gradient Aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Mi 09.05.2012
Autor: notinX


> Hallo notinx, danke für deine Antwort zur späten Stunde
> :)
>  
> Bedeutet das das ich dann das hier skalar multiplizieren
> muss:
>  
> [mm]\wurzel[2]{(\bruch{x}{r^3})^2+(\bruch{y}{r^3})^2+(\bruch{z}{r^3})^2}[/mm]
> *
> [mm]\wurzel[2]{(\bruch{x}{r^3})^2+(\bruch{y}{r^3})^2+(\bruch{z}{r^3})^2}[/mm]
>  
> also jetzt das [mm]\frac{\left|\vec{r}\right|}{r^3}[/mm] *
> [mm]\frac{\left|\vec{r}\right|}{r^3}[/mm] ausgeschrieben, dann
> würde ich ja:
>  
> [mm]\bruch{x^2+y^2+z^2}{r^6}[/mm] rausbekommen, stimmt das??

Nein, das bedeutet:
[mm] $\left|-\frac{\vec{r}}{r^{3}}\right|=\frac{\left|\vec{r}\right|}{r^3}=\frac{r}{r^3}=\frac{1}{r^2}$ [/mm]

>  
> Lg !
>  
>
>  

Gruß,

notinX

Bezug
                                
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Gradient Aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:50 Mi 09.05.2012
Autor: PhysikGnom

Achso, oh man, also ist die Lösung dann am Ende ein ganz normales Produkt:

[mm] 1/r^4 [/mm] ?

Gruß ^^

Bezug
                                        
Bezug
Gradient Aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:59 Mi 09.05.2012
Autor: notinX


> Achso, oh man, also ist die Lösung dann am Ende ein ganz
> normales Produkt:
>  
> [mm]1/r^4[/mm] ?

Nein!
Die Lösung ist: [mm] $\frac{1}{r^2}$ [/mm]


>  
> Gruß ^^

Gruß,

notinX

Bezug
                                
Bezug
Gradient Aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Mi 09.05.2012
Autor: PhysikGnom

Hallo nochmal :)

Ok, aber mach ich nicht am Ende: [mm] \frac{1}{r^2} [/mm] * [mm] \frac{1}{r^2} [/mm] ?

Gruß :)

Bezug
                                        
Bezug
Gradient Aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:14 Mi 09.05.2012
Autor: notinX


> Hallo nochmal :)
>  
> Ok, aber mach ich nicht am Ende: [mm]\frac{1}{r^2}[/mm] *
> [mm]\frac{1}{r^2}[/mm] ?

Oh, ja. Entschuldige, ich habe das Quadrat um den Betrag übersehen. Also [mm] $1/r^4$ [/mm] stimmt.

>  
> Gruß :)

Gruß,

notinX

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Gradient Aufgaben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Mi 09.05.2012
Autor: PhysikGnom

Ah Klasse, vielen Dank für deine zügige Hilfe fand ich echt super :)

Eine gute Nacht dann noch, und frohes erwachen :)

Lg

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