Grad einer Körpererweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 So 07.01.2007 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | | Man bestimme den Grad der Körpererweiterung von [mm] $\IQ(\wurzel{2},i)$ [/mm] über [mm] $\IQ$ [/mm] und das Minimalpolynom von [mm] $x=i+\wurzel{2}$ [/mm] über [mm] $\IQ$. [/mm] |
Hallo Leute,
ich habe mir einige Beispielaufgaben zu der Gradbestimmung angesehen, aber damit komme ich leider bei dieser Aufgabe kein Stück weiter. Gibt es eine Strategie, an die ich mich halten kann? Ich weiß nicht, wie ich das machen soll.
Als Minimalpolynom habe ich [mm] $X^4-2X^2+9$ [/mm] berechnet, ist das richtig?
Es wäre lieb, wenn mir jemand helfen könnte. Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt. Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mo 08.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
ich glaube, dass es keine gute Strategie zur Gradbestimmung einer irgendwie vorgegebenen endlichen Körpererweiterung gibt. Man kann natürlich immer die Definition anwenden und aus dem gegebenen endlichen Erzeugendensystem eine Basis auswählen.
In Deiner Situation könnte man zum Beispiel so argumentieren.
Betrachte den Zwischenkörper:
$$
[mm] \IQ\subseteq K=\IQ(\sqrt{2})\subseteq L=\IQ(\sqrt{2},i)
[/mm]
$$
Die Erweiterung [mm] K:\IQ [/mm] hat den Grad 2, denn [mm] \sqrt{2} [/mm] ist nicht rational und Nullstelle des quadratischen Polynoms [mm] X^2-2.
[/mm]
Die Erweiterung L:K hat den Grad 2, denn [mm] (a+b\sqrt{2})^2=-1 [/mm] hat keine Lösung mit [mm] a,b\in\IQ [/mm] (sonst wäre ja insbesondere [mm] i\in\IR) [/mm] und i ist Nullstelle des quadratischen Polynoms [mm] X^2+1.
[/mm]
Da der Grad multiplikativ ist, gilt
$$
[mm] [L:\IQ] =[L:K][K:\IQ]=2\cdot [/mm] 2=4.
$$
Aus dem Beweis dieser Formel sieht man, dass [mm] 1,i,\sqrt{2} [/mm] und [mm] i\sqrt{2} [/mm] eine Basis bilden, was man natürlich auch direkt versuchen kann zu zeigen. Das liefert eine zweite Methode, den Grad zu bestimmen.
Dein Minimalpolynom bekomme ich auch heraus. Das wäre noch zu genauer begründen.
Gruß, Volker.
|
|
|
|
