Grad des char. Polynoms über C < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei A [mm] \in M_{nxn}(\IC)
[/mm]
(a) Zeigen sie, dass das charakteristische Polynom [mm] p_{a}(t) [/mm] von A ein Polynom vom Grad n ist, also [mm] p_{a}(t)=a_{n}*t^{n}+a_{n-1}*t^{n-1}+...+a_{1}*t+a_{0} [/mm] mit [mm] a_{0},...,a_{n} \in \IC
[/mm]
(b) Zeigen sie, dass [mm] a_{n}=(-1)^{n}, a_{n-1}=(-1)^{n-1}*Spur(A), a_{0}=det(A) [/mm] |
Ich scheitere am Beweisansatz.
Bisher habe ich wie folgt angefangen:
[mm] p_{A}(t)=det(A-t*E)= \vmat{ a_{1,1}-t & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2}-t & ...& a_{2,n} \\ ... \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n}-t} [/mm] = [mm] \vmat{ a_{1,1}'-t & a_{1,2}' & ... & a_{1,n}' \\ 0 & a_{2,2}'-t & ...& a_{2,n}' \\ ... \\ 0 & 0 & ... & a_{n,n}'-t} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{n} (a_{j,j}'-t)=
[/mm]
[mm] (a_{1,1}*a_{2,2}*...*a_{n,n})*t^{0}*(-1)^{0}+
[/mm]
(Summe Aller Indexpermutationen über n-1 Glieder für [mm] a_{j,j} [/mm] ohne die Reihenfolge zu [mm] beachten)*t*(-1)^{1} [/mm] +
(Summe Aller Indexpermutationen über n-2 Glieder für [mm] a_{j,j} [/mm] ohne die Reihenfolge zu [mm] beachten)*t^2 *(-1)^{2}+
[/mm]
...
(Summe Aller Indexpermutationen über n-(n-1) Glied für [mm] a_{j,j} [/mm] ohne die Reihenfolge zu beachten [mm] =Spur(A))*t^{n-1} *(-1)^{n-1} [/mm] +
[mm] t^{n}*(-1)^{n}
[/mm]
Geht das als formaler Beweis durch?
Wenn dem so wäre, könnte ich sehr schön die in Aufgabe (b) gefragten umstände zeigen.
Problematisch ist in der Notation oben, dass ich die Summe der [mm] a_{j,j} [/mm] nicht formal formulieren kann. Hier bräuchte ich Hilfe, falls der Beweis so überhaupt geht?!?
Mir fällt beim besten Wissen kein anderer Weg ein die Beschaffenheit des Polynoms zu zeigen als diesen langen umständlichen Rechenweg oben. Falls doch, bitte helft mir!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Fr 09.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Es sei A [mm]\in M_{nxn}(\IC)[/mm]
> (a) Zeigen sie, dass das
> charakteristische Polynom [mm]p_{a}(t)[/mm] von A ein Polynom vom
> Grad n ist, also
> [mm]p_{a}(t)=a_{n}*t^{n}+a_{n-1}*t^{n-1}+...+a_{1}*t+a_{0}[/mm] mit
> [mm]a_{0},...,a_{n} \in \IC[/mm]
>
> (b) Zeigen sie, dass [mm]a_{n}=(-1)^{n}, a_{n-1}=(-1)^{n-1}*Spur(A), a_{0}=det(A)[/mm]
>
>
> Ich scheitere am Beweisansatz.
> Bisher habe ich wie folgt angefangen:
> [mm]p_{A}(t)=det(A-t*E)= \vmat{ a_{1,1}-t & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2}-t & ...& a_{2,n} \\ ... \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n}-t}[/mm]
> = [mm]\vmat{ a_{1,1}'-t & a_{1,2}' & ... & a_{1,n}' \\ 0 & a_{2,2}'-t & ...& a_{2,n}' \\ ... \\ 0 & 0 & ... & a_{n,n}'-t}[/mm]
Es waere die Frage, was es mit der letzten Matrix auf sich hat und was sie mit der urspruenglichen zu tun hat.
> = [mm]\produkt_{j=1}^{n} (a_{j,j}'-t)=[/mm]
>
> [mm](a_{1,1}*a_{2,2}*...*a_{n,n})*t^{0}*(-1)^{0}+[/mm]
> (Summe Aller Indexpermutationen über n-1 Glieder für
> [mm]a_{j,j}[/mm] ohne die Reihenfolge zu [mm]beachten)*t*(-1)^{1}[/mm] +
> (Summe Aller Indexpermutationen über n-2 Glieder für
> [mm]a_{j,j}[/mm] ohne die Reihenfolge zu [mm]beachten)*t^2 *(-1)^{2}+[/mm]
>
> ...
> (Summe Aller Indexpermutationen über n-(n-1) Glied für
> [mm]a_{j,j}[/mm] ohne die Reihenfolge zu beachten [mm]=Spur(A))*t^{n-1} *(-1)^{n-1}[/mm]
> +
> [mm]t^{n}*(-1)^{n}[/mm]
Ich habe eine Ahnung, was du mit den Summen aller Indexpermutationen etc. meinst, halte es aber nicht fuer gluecklich ausgedrueckt. Ich meine es ist aber auch nicht entscheidend, weil der Zusammenhang zwischen den $a$ und $a'$ ohnehin dunkel ist: wieso sollte z.B. [mm] $\sum_{i=1}^{n} [/mm] a'_{i,i}= Spur (A)$ sein?
Wenn ihr die Leibniz-Formel fuer Determinanten kennengelernt habt, dann wuerde ich es damit versuchen. Sonst Induktion und Laplace'scher Entwicklungssatz. Mit der Leibniz-Formel laesst sich auch der Teil b) ganz gut angehen.
>
> Geht das als formaler Beweis durch?
>
> Wenn dem so wäre, könnte ich sehr schön die in Aufgabe
> (b) gefragten umstände zeigen.
>
> Problematisch ist in der Notation oben, dass ich die Summe
> der [mm]a_{j,j}[/mm] nicht formal formulieren kann. Hier bräuchte
> ich Hilfe, falls der Beweis so überhaupt geht?!?
>
> Mir fällt beim besten Wissen kein anderer Weg ein die
> Beschaffenheit des Polynoms zu zeigen als diesen langen
> umständlichen Rechenweg oben. Falls doch, bitte helft mir!
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Ok, danke für den Hinweis. Leider hilft mir das nicht weiter.
Ich weiß nun also laut Leibniz, dass ich eine Determinante einer nxn-Matrix auch darstellen kann als:
[mm] det(A)=\summe_{\partial \in S_{n}}^{ } sign(\partial)* a_{1,\partial (1)}*...*a_{n,\partial (n)}
[/mm]
Aber schon die Leibnizformal auf (A-t*E) anwenden kann ich nicht.
det(A-t*E) = [mm] \summe_{\partial \in S_{n}}^{ } sign(\partial)* a_{1,\partial (1)}*...*a_{n,\partial (n)} [/mm] ( Für alle [mm] \partial [/mm] (j) = j gilt [mm] a_{j,j} [/mm] -> [mm] a_{j,j}-t)
[/mm]
Das kann ich ja in der Form nicht notieren. Zudem hilft es mir nicht, da ich n! Summanden habe und keinen blassen Schimmer habe wie ich daraus schließen soll, dass t dann in allen Potenzen j mit 0<j<n+1 auftritt?!?
Irgendein Hinweis? Ich habe auch schon versucht (A-t*E) umzuschreiben, darf aber laut Aufgabe ja nich einmal annehmen, dass A invertierbar ist und sich mit Basistransformationsmatritzen umschreiben ließe ohne die Determinante zu manipulieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Sa 10.05.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, danke für den Hinweis. Leider hilft mir das nicht
> weiter.
>
> Ich weiß nun also laut Leibniz, dass ich eine
> Determinante einer nxn-Matrix auch darstellen kann als:
> [mm]det(A)=\summe_{\partial \in S_{n}}^{ } sign(\partial)* a_{1,\partial (1)}*...*a_{n,\partial (n)}[/mm]
>
> Aber schon die Leibnizformal auf (A-t*E) anwenden kann ich
> nicht.
> det(A-t*E) = [mm]\summe_{\partial \in S_{n}}^{ } sign(\partial)* a_{1,\partial (1)}*...*a_{n,\partial (n)}[/mm]
> ( Für alle [mm]\partial[/mm] (j) = j gilt [mm]a_{j,j}[/mm] -> [mm]a_{j,j}-t)[/mm]
> Das kann ich ja in der Form nicht notieren.
Schreib es doch so: [mm] $b_{ij} [/mm] := [mm] a_{ij}$ [/mm] fuer $i [mm] \neq [/mm] j$ und [mm] $b_{ii} [/mm] := [mm] a_{ii} [/mm] - t$. Dann ist [mm] $p_A(t) [/mm] = [mm] \sum_{\sigma \in S_n} sign(\sigma) b_{1\sigma(1)} \cdots b_{n\sigma(n)}$.
[/mm]
> Zudem hilft es
> mir nicht, da ich n! Summanden habe und keinen blassen
> Schimmer habe wie ich daraus schließen soll, dass t dann
> in allen Potenzen j mit 0<j<n+1 auftritt?!?
Ueberlege dir folgendes: [mm] $\deg (b_{1\sigma(1)} \cdots b_{n\sigma(n)}) \le |\{ i \mid \sigma(i) = i \}|$ [/mm] und [mm] $\deg b_{11} \cdots b_{nn} [/mm] = n$.
Damit, mit der Ungleichung [mm] $\deg(f [/mm] + g) [mm] \le \max\{ \deg f, \deg g \}$ [/mm] fuer Polynome sowie [mm] $\deg(f [/mm] + g) = [mm] \deg [/mm] f$ falls [mm] $\deg [/mm] f > [mm] \deg [/mm] g$ und mit der Leibnizformel von oben kannst du die Behauptung recht einfach zeigen.
> Irgendein Hinweis? Ich habe auch schon versucht (A-t*E)
> umzuschreiben, darf aber laut Aufgabe ja nich einmal
> annehmen, dass A invertierbar ist und sich mit
> Basistransformationsmatritzen umschreiben ließe ohne die
> Determinante zu manipulieren.
Das brauchst du auch alles nicht.
LG Felix
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