Globale Konvergenz < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Do 05.01.2017 | | Autor: | Pawcio |
| Aufgabe | | Zeige, dass das Gesamtschrittverfahren für Ax=b global konvergiert. |
Ich habe dazu eine Matrix und Vektor vorgegeben
Leider keine Ahnug wie ich das zeigen kann und im Internet stehen auch wenige Beispiele dazu.
Kann mir jemand damit weiterhelfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Do 05.01.2017 | | Autor: | Pawcio |
Muss ich nur zeigen, dass die Matrix auf der Diagonale dominant ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Fr 06.01.2017 | | Autor: | Ladon |
Siehe untere Antwort.
Viele Grüße
Ladon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Fr 06.01.2017 | | Autor: | Ladon |
Hallo Pawcio,
ihr hattet sicherlich den Satz:
Die Matrix $A = [mm] (a_{ij}) \in {\mathbb{ K}}^{n \times n}$ [/mm] genüge dem (starken) Zeilensummenkriterium:
[mm] $$\max_{i=1,...,n} \sum\limits_{ {j=1} , {j \ne i} }^n \left| { \frac{a_{ij}}{a_{ii}} } \right| [/mm] < 1$$
oder dem (starken) Spaltensummenkriterium:
[mm] $$\max_{j=1,...,n} \sum\limits_{ {i=1}, {i \ne j} }^n \left| { \frac{a_{ij}}{a_{jj}} } \right| [/mm] < 1$$
Dann konvergiert das GSV bezüglich jeder Norm auf [mm] ${\mathbb{ K}}^m$, [/mm] für jedes $y [mm] \in {\mathbb{K}}^m$ [/mm] und bei beliebigem Startvektor [mm] $x_0 [/mm] $ gegen die eindeutig bestimmte Lösung des LGS $Ax = y$.
Nutze einfach den Satz. Für Matrizen $A$ mit [mm] $a_{ii}\neq0$ [/mm] bekommt man zudem Konvergenz des GSV genau dann, wenn der Spektralradius [mm] $\rho(D^{-1}(L+U))<1$ [/mm] ist, wobei $D$ Diagonalmatrix, $L$ strickte untere Dreiecksmatrix und $U$ strickte obere Dreiecksmatrix mit $A=D+L+U$ ist.
LG
Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mo 09.01.2017 | | Autor: | Pawcio |
Danke dir für die Erklärung
Jetzt macht das Sinn
Klar hatten wir das, aber nur erwähnt und leider der Begriff war nicht dabei
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