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| Aufgabe | Bestimmen Sie -falls existent- die globalen Extrema der Funktion
[mm] f(n)=\begin{cases} f_{l}(x)= \bruch{1}{(x-1)^{2}}, & \mbox{für } 0\le x \le 2 \\ f_{r}(x) = 2^{-x^{2}+2x}, & \mbox{für } x > 2 \end{cases} [/mm] |
Hallo zusammen!
Also ich habe versucht diese Aufgabe zu bearbeiten, aber ich bin kläglich gescheitert, wäre sehr lieb wenn mir jemand meine Fehler aufzeigen könnte ^^
1. Definitionslücken
Da habe ich geschrieben das [mm] f_{l}(x) [/mm] für x=1 eine def.lücke hate, weil ja der Zähler 0 wird
für die 2 Funktion war ich mir nicht sicher. aber kann es sein, dass Exponentialfunktionen für x gegen [mm] \infty [/mm] nicht definiert sind oder liegt das evtl an meinem taschenrechner?
2. Randpunkte
[mm] f_{l}(0) [/mm] = 1
[mm] f_{r}(-\infty), [/mm] wie gesagt da bekomme ich nichts gescheites heraus
3.Nahstellen
[mm] f_{l}(2) [/mm] = 1
[mm] f_{r}(2) [/mm] = [mm] 2^{8} [/mm] = 256
4. 1. Ableitung gleich 0
f'_{l}= - [mm] \bruch{2(x-1)}{(x-1)^{4}} [/mm] =0 [mm] \gdw [/mm] x=1, y= n.d
f'_{r}= [mm] f_{r}(x) [/mm] * (-2x+2) [mm] \gdw [/mm] x=1, y=2
5. Kandidaten
(0/1)
(2/1)
(2/256)
(1/2)
liebe grüße
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Hallo!
> 1. Definitionslücken
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> Da habe ich geschrieben das [mm]f_{l}(x)[/mm] für x=1 eine
> def.lücke hate, weil ja der Zähler 0 wird
Das ist erstmal korrekt, allerdings ist "Definitionslücke" etwas wenig. Es gibt ja z.B. hebbare Def.-Lücken und verschiedene Polstellen, hier solltest du etwas genauer werden, weil du damit schon einen Teil der Lösung bekommst.
> für die 2 Funktion war ich mir nicht sicher. aber kann es
> sein, dass Exponentialfunktionen für x gegen [mm]\infty[/mm] nicht
> definiert sind oder liegt das evtl an meinem
> taschenrechner?
Du solltest das Verhalten einer Funktion niemals ernsthaft mit einem Taschenrechner überprüfen. Denn sowas wie [mm] 2^x [/mm] sind sehr wohl für [mm] x\mapsto\infty [/mm] definiert, allerdings können die meisten taschenrechner mit Zahlen größer [mm] 10^{99} [/mm] nichts mehr anfangen, und dieses Limit ist sehr schnell erreicht.
Allerdings: Deine Funktion strebt gegen 0!
>
> 2. Randpunkte
>
> [mm]f_{l}(0)[/mm] = 1
>
> [mm]f_{r}(-\infty),[/mm] wie gesagt da bekomme ich nichts gescheites
> heraus
s.o.
> 3.Nahstellen
>
> [mm]f_{l}(2)[/mm] = 1
OK
> [mm]f_{r}(2)[/mm] = [mm]2^{8}[/mm] = 256
Nö, rechne nochmal!
> 4. 1. Ableitung gleich 0
>
> f'_{l}= - [mm]\bruch{2(x-1)}{(x-1)^{4}}[/mm] =0 [mm]\gdw[/mm] x=1, y= n.d
ok, aber warum?
>
> f'_{r}= [mm]f_{r}(x)[/mm] * (-2x+2) [mm]\gdw[/mm] x=1, y=2
Auch richtig, aber ist diese Stelle überhaupt relevant?
>
> 5. Kandidaten
>
> (0/1)
OK
> (2/1)
OK
> (2/256)
Naja, nochmal rechnen...
> (1/2)
Siehe Punkt 4.
Und natürlich Punkt 1.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 So 20.02.2011 | | Autor: | abakus |
> > [mm]f_{r}(-\infty),[/mm] wie gesagt da bekomme ich nichts gescheites
> > heraus
Wofür den auch? Deine Funktion ist für negative x gar nicht definiert worden.
Du machst dir unnötige Arbeit.
Gruß Abakus
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Hallo Event_Horizont!
Danke erst einmal für deine Hilfe ;)
Also, ich habe leider noch nie was von hebbaren Def.lücken gehört und auch Polstellen sagt mir nichts, also für uns reicht es anzugeben dass das nich def. ist weil eine 0 im Zähler nicht definiert ist. Danke aber trotzdem.
Okay, also für [mm] \infty [/mm] läuft die Funktion gegen 0, richtig? Ich verstehe nur nicht wie ich das so erkennen soll. Ich hätte jetzt eher gesagt dass die Funtkion größer und nich kleiner wird.
zu den nahtstellen von [mm] f_{r}(2): [/mm] wenn ich 2 einfach nur in die Funktion einsetze steht da doch [mm] 2^{-2^{2}+2*2} [/mm] = [mm] 2^{4+4} [/mm] = [mm] 2^{8} [/mm] =256
wo ist denn mein Fehler?
und ja stimmt der Punkt P(1/2) ist gar nicht relevant weil x > 2 sein muss dankee^^
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Hallo A_to_the_T,
> Hallo Event_Horizont!
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> Danke erst einmal für deine Hilfe ;)
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> Also, ich habe leider noch nie was von hebbaren Def.lücken
> gehört und auch Polstellen sagt mir nichts, also für uns
> reicht es anzugeben dass das nich def. ist weil eine 0 im
> Zähler nicht definiert ist. Danke aber trotzdem.
>
> Okay, also für [mm]\infty[/mm] läuft die Funktion gegen 0,
> richtig? Ich verstehe nur nicht wie ich das so erkennen
> soll. Ich hätte jetzt eher gesagt dass die Funtkion
> größer und nich kleiner wird.
>
> zu den nahtstellen von [mm]f_{r}(2):[/mm] wenn ich 2 einfach nur in
> die Funktion einsetze steht da doch [mm]2^{-2^{2}+2*2}[/mm] =
> [mm]2^{4+4}[/mm] = [mm]2^{8}[/mm] =256
>
> wo ist denn mein Fehler?
>
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]2^{-2^{2}+2*2} = 2^{\blue{-}4+4}[/mm]
>
> und ja stimmt der Punkt P(1/2) ist gar nicht relevant weil
> x > 2 sein muss dankee^^
Gruss
MathePower
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@mathe power: Ja stimmt, ich hab das - mit potenziert...danke für den hinweis ^^
@abakus: ja habe ich grad auch festgestellt, danke^^
Trotzdem verstehe ich nicht wie ich erkennen kann wo eine exponentialfunktion gegen strebt wenn sie gegen [mm] \infty [/mm] oder auch [mm] -\infty [/mm] streben soll. Gibt es deine eine Faustregel oder so?
Lieben Dank schon mal
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Hallo A_to_the_T,
> @mathe power: Ja stimmt, ich hab das - mit
> potenziert...danke für den hinweis ^^
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> @abakus: ja habe ich grad auch festgestellt, danke^^
>
> Trotzdem verstehe ich nicht wie ich erkennen kann wo eine
> exponentialfunktion gegen strebt wenn sie gegen [mm]\infty[/mm] oder
> auch [mm]-\infty[/mm] streben soll. Gibt es deine eine Faustregel
> oder so?
Das hängt von der Basis und dem Exponenten ab: [mm]\operatorname{Basis}^{\operatorname{Exponent}}[/mm]
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> Lieben Dank schon mal
>
Gruss
MathePower
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