Globale Extrema < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo liebe Leute, ich möchte die globalen Extremwerte folgender Funktion in R+ bestimmen:
[mm]f(x)= x^{2}[/mm]
[mm]f'(x)=2x[/mm]
[mm]2x=0 \gdw x=0[/mm]
[mm]f(0)=0 \to[/mm] glob. Minimum
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)={x\rightarrow\infty} \to [/mm] glob. Maximum
Ich hab das aber noch nicht so oft gemacht und bin deswegen ein bisschen unsicher. Wenn kein Intervall gegeben ist, dessen Randpunkte man einbeziehen kann, dann berechnet man ja die Grenzwerte der Funktion, sowie die stationären Punkte, die sich durch nullsetzen der ersten Ableitung ergeben. Muss ich auch den unteren Grenzwert noch berechnen? Oder ist das wegen f(0)=0 hinfällig?
Falls ich etwas falsch gemacht habe, würde ich mich über eine (möglichst ausführliche) Erklärung sehr freuen!! 
Vielen Dank schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Alice
> Hallo liebe Leute, ich möchte die globalen Extremwerte
> folgender Funktion in R+ bestimmen:
>
> [mm]f(x)= x^{2}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=2x[/mm]
> [mm]2x=0 \gdw x=0[/mm]
>
> [mm]f(0)=0 \to[/mm] glob. Minimum
>
Hier sollte man vermutlich noch begründen, warum es sich nicht nur um ein lokales Minimum handelt!
Ein globales Minimum ist ja dadurch gegeben, dass der Funktionswert an jeder anderen Stelle [mm] $\ge$ [/mm] dem bestimmten Minimun ist. Das sollte man noch formal tun.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)={x\rightarrow\infty} \to[/mm]
> glob. Maximum
>
Wie gross ist denn jetzt das Globale Maximum. An welcher Stelle wird es angenommen?
Beachte bitte, dass [mm] $\infty$ [/mm] keine reele Zahl ist.
Es wird dir somit nicht gelingen, eine Stelle [mm] $x_{0}$ [/mm] zu finden, wo du dann behaupten kannst: jeder Funktionswert für $x [mm] \ne x_{0}$ [/mm] sei [mm] $\le f(x_{0})$.
[/mm]
Die Funktion besitzt somit kein Globales Maximum.
Das wäre in der Tat anders, falls die Funktion auf eine echte Teilmenge von [mm] $\matbb{R}$ [/mm] eingeschränkt wäre, unter der Voraussetzung, dass $x$ nicht über alle Grenzen wächst (nach oben und nach unten) und abgeschlossen ist. Die Bedingung müsste man vielleich noch etwas exakter formulieren, aber ich denke, du weisst schon, was ich meine. Wir wollen nicht allzu mathematisch kleinlich sein!
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
