Gleichungssystem lösen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Mathe0 |
| Aufgabe | Finden Sie für die folgende Funktion die stationären Punkte und klassifizieren Sie diese als lokale Maximum, Minimum.
[mm] f(x,y)=x^{3}-y^{3}+9xy [/mm] |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe das Problem das sich ergebende Gleichungssystem zu lösen. Zuerst habe ich die beiden partiellen Ableitungen nach x und y gebildet.
f´1(x,y) = [mm] 3x^{2}+9y
[/mm]
f´2(x,y) = [mm] -3y^{2}+9x
[/mm]
Diese muß ich dann ja null setzen und habe ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Ich bin hergegangen und habe f´2(x,y) nach x umgestellt. Dann bekomme ich [mm] x=3/9y^{2}. [/mm] Dies setze ich in f´1(x,y) ein und bekomme [mm] 3*(\bruch{3}{9}y^{2})^{2}+9y=0.
[/mm]
Wie bekomme ich das jetzt aber nach y aufgelöst oder gibt es einen anderen Weg um zum Ergebnis zu kommen?
Schonmal Vielen Dank
Mfg
Mathe0
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Fr 20.10.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
das Vorgehen ist korrekt, indem der Gradient der Funktion gleich Null gesetzt wird und aus dem homogenen LGS x durch y ausgedrückt wird.
Was ist das Ziel: Nullstellen der sich ergeben Funktion von y zu finden und damit die Werte für x zu bekommen.
h(y) = $ [mm] 3\cdot{}(\bruch{3}{9}y^{2})^{2}+9y=0. [/mm] $
[mm] \gdw
[/mm]
0= y * [mm] (\bruch{1}{3}y^3 [/mm] +9) [mm] \Rightarrow y_1 [/mm] = 0 (Anm: Ausgeklammert und gekürzt!!)
betrache nur noch: (Anm: Produkt ist Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist!!)
0= [mm] \bruch{1}{3}y^3 [/mm] +9 (/*3)
[mm] \gdw
[/mm]
0= [mm] y^3 [/mm] +27 [mm] \Rightarrow y_2 [/mm] = -3
Somit ergeben sich aus $ [mm] x=3/9y^{2}. [/mm] $
[mm] x_1= [/mm] 0 und [mm] x_2=3
[/mm]
Jetzt kann die Überprüfung ob Max/Min vorliegt an der Hessematrix abgelesen werden.
Alternative: Laut Aufgabenstellung treten Max und Min der Funktion auf, somit ist der Funktionswert ausschlaggebend, der Kleinere ist das Min, der andere folglich das Max.
Hoffe etwas Klarheit geschaffen zu haben.
MfG
Ron
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