Gleichungssystem (Lagrange) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel das Minimum und das Maximum der Funktion:
f: [mm] \IR^3 \rightarrow \IR
[/mm]
(x,y,z) [mm] \rightarrow [/mm] 5x + y - 3z
auf dem Schnitt der Ebene x + y + z = 0 mit der Kugeloberfläche [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 1. |
Hallo :)
Ich habe die jeweils partiellen Ableitungen gebildet und erhalte mit den Nebenbedingungen folgendes Gleichungssystem:
5 + [mm] \lambda_1 [/mm] + 2 [mm] \lambda_2 [/mm] x = 0
1 + [mm] \lambda_1 [/mm] + 2 [mm] \lambda_2 [/mm] y = 0
-3 + [mm] \lambda_1 [/mm] + 2 [mm] \lambda_2 [/mm] z = 0
x + y + z = 0
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 1
Allerdings bekomme ich dieses Gleichungssytem nicht gelöst.
Da es nicht linear ist, darf man das Gaußverfahren auch nicht verwenden :(
Hat jemand einen Tipp?
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Hallo LittleStudi,
> Berechnen Sie mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel
> das Minimum und das Maximum der Funktion:
>
> f: [mm]\IR^3 \rightarrow \IR[/mm]
> (x,y,z) [mm]\rightarrow[/mm] 5x + y -
> 3z
>
> auf dem Schnitt der Ebene x + y + z = 0 mit der
> Kugeloberfläche [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = 1.
>
> Hallo :)
>
> Ich habe die jeweils partiellen Ableitungen gebildet und
> erhalte mit den Nebenbedingungen folgendes
> Gleichungssystem:
>
> 5 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] x = 0
> 1 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] y = 0
> -3 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] z = 0
> x + y + z = 0
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = 1
>
> Allerdings bekomme ich dieses Gleichungssytem nicht
> gelöst.
> Da es nicht linear ist, darf man das Gaußverfahren auch
> nicht verwenden :(
>
> Hat jemand einen Tipp?
Löse zum Beispiel die 4. Gleichung nach z auf.
Setze dies in Gleichung 5 ein und löse diese nach y auf.
Gruss
MathePower
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> Hallo LittleStudi,
>
> > Berechnen Sie mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel
> > das Minimum und das Maximum der Funktion:
> >
> > f: [mm]\IR^3 \rightarrow \IR[/mm]
> > (x,y,z) [mm]\rightarrow[/mm] 5x +
> y -
> > 3z
> >
> > auf dem Schnitt der Ebene x + y + z = 0 mit der
> > Kugeloberfläche [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = 1.
> >
> > Hallo :)
> >
> > Ich habe die jeweils partiellen Ableitungen gebildet und
> > erhalte mit den Nebenbedingungen folgendes
> > Gleichungssystem:
> >
> > 5 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] x = 0
> > 1 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] y = 0
> > -3 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] z = 0
> > x + y + z = 0
> > [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = 1
> >
> > Allerdings bekomme ich dieses Gleichungssytem nicht
> > gelöst.
> > Da es nicht linear ist, darf man das Gaußverfahren
> auch
> > nicht verwenden :(
> >
> > Hat jemand einen Tipp?
>
>
> Löse zum Beispiel die 4. Gleichung nach z auf.
>
> Setze dies in Gleichung 5 ein und löse diese nach y auf.
>
Wenn ich die 4. in die 5. einsetze erhalte ich:
[mm] 2x^2+2y^2+2xy [/mm] = 1
Wie löse ich diese nach y auf? das xy stört :(
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo LittleStudi,
> > Hallo LittleStudi,
> >
> > > Berechnen Sie mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel
> > > das Minimum und das Maximum der Funktion:
> > >
> > > f: [mm]\IR^3 \rightarrow \IR[/mm]
> > > (x,y,z) [mm]\rightarrow[/mm]
> 5x +
> > y -
> > > 3z
> > >
> > > auf dem Schnitt der Ebene x + y + z = 0 mit der
> > > Kugeloberfläche [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = 1.
> > >
> > > Hallo :)
> > >
> > > Ich habe die jeweils partiellen Ableitungen gebildet und
> > > erhalte mit den Nebenbedingungen folgendes
> > > Gleichungssystem:
> > >
> > > 5 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] x = 0
> > > 1 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] y = 0
> > > -3 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] z = 0
> > > x + y + z = 0
> > > [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = 1
> > >
> > > Allerdings bekomme ich dieses Gleichungssytem nicht
> > > gelöst.
> > > Da es nicht linear ist, darf man das Gaußverfahren
> > auch
> > > nicht verwenden :(
> > >
> > > Hat jemand einen Tipp?
> >
> >
> > Löse zum Beispiel die 4. Gleichung nach z auf.
> >
> > Setze dies in Gleichung 5 ein und löse diese nach y auf.
> >
>
> Wenn ich die 4. in die 5. einsetze erhalte ich:
>
> [mm]2x^2+2y^2+2xy[/mm] = 1
>
> Wie löse ich diese nach y auf? das xy stört :(
>
Das ist jetzt eine quadratische Gleichung in y,
die Du z.B. mit Hilfe der ABC-Formel auflösen kannst.
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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> Hallo LittleStudi,
>
> > > Hallo LittleStudi,
> > >
> > > > Berechnen Sie mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel
> > > > das Minimum und das Maximum der Funktion:
> > > >
> > > > f: [mm]\IR^3 \rightarrow \IR[/mm]
> > > > (x,y,z)
> [mm]\rightarrow[/mm]
> > 5x +
> > > y -
> > > > 3z
> > > >
> > > > auf dem Schnitt der Ebene x + y + z = 0 mit der
> > > > Kugeloberfläche [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = 1.
> > > >
> > > > Hallo :)
> > > >
> > > > Ich habe die jeweils partiellen Ableitungen gebildet und
> > > > erhalte mit den Nebenbedingungen folgendes
> > > > Gleichungssystem:
> > > >
> > > > 5 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] x = 0
> > > > 1 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] y = 0
> > > > -3 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] z = 0
> > > > x + y + z = 0
> > > > [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = 1
> > > >
> > > > Allerdings bekomme ich dieses Gleichungssytem nicht
> > > > gelöst.
> > > > Da es nicht linear ist, darf man das
> Gaußverfahren
> > > auch
> > > > nicht verwenden :(
> > > >
> > > > Hat jemand einen Tipp?
> > >
> > >
> > > Löse zum Beispiel die 4. Gleichung nach z auf.
> > >
> > > Setze dies in Gleichung 5 ein und löse diese nach y auf.
> > >
> >
> > Wenn ich die 4. in die 5. einsetze erhalte ich:
> >
> > [mm]2x^2+2y^2+2xy[/mm] = 1
> >
> > Wie löse ich diese nach y auf? das xy stört :(
> >
>
>
> Das ist jetzt eine quadratische Gleichung in y,
> die Du z.B. mit Hilfe der
> ABC-Formel
> auflösen kannst.
>
Ich erhalte dann [mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{-y\pm\wurzel{-3y^2+2}}{2}
[/mm]
Kann man nun sagen, dass y=0 ist (denn wenn es 1 oder größer wäre, würde die Wurzel negativ werden...) und dann meine weiteren Werte hiervon berechnen? Oder darf man nicht raten?
>
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo LittleStudi,
> > Hallo LittleStudi,
> >
> > > > Hallo LittleStudi,
> > > >
> > > > > Berechnen Sie mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel
> > > > > das Minimum und das Maximum der Funktion:
> > > > >
> > > > > f: [mm]\IR^3 \rightarrow \IR[/mm]
> > > > > (x,y,z)
> > [mm]\rightarrow[/mm]
> > > 5x +
> > > > y -
> > > > > 3z
> > > > >
> > > > > auf dem Schnitt der Ebene x + y + z = 0 mit der
> > > > > Kugeloberfläche [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = 1.
> > > > >
> > > > > Hallo :)
> > > > >
> > > > > Ich habe die jeweils partiellen Ableitungen gebildet und
> > > > > erhalte mit den Nebenbedingungen folgendes
> > > > > Gleichungssystem:
> > > > >
> > > > > 5 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] x = 0
> > > > > 1 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] y = 0
> > > > > -3 + [mm]\lambda_1[/mm] + 2 [mm]\lambda_2[/mm] z = 0
> > > > > x + y + z = 0
> > > > > [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = 1
> > > > >
> > > > > Allerdings bekomme ich dieses Gleichungssytem nicht
> > > > > gelöst.
> > > > > Da es nicht linear ist, darf man das
> > Gaußverfahren
> > > > auch
> > > > > nicht verwenden :(
> > > > >
> > > > > Hat jemand einen Tipp?
> > > >
> > > >
> > > > Löse zum Beispiel die 4. Gleichung nach z auf.
> > > >
> > > > Setze dies in Gleichung 5 ein und löse diese nach y auf.
> > > >
> > >
> > > Wenn ich die 4. in die 5. einsetze erhalte ich:
> > >
> > > [mm]2x^2+2y^2+2xy[/mm] = 1
> > >
> > > Wie löse ich diese nach y auf? das xy stört :(
> > >
> >
> >
> > Das ist jetzt eine quadratische Gleichung in y,
> > die Du z.B. mit Hilfe der
> > ABC-Formel
> > auflösen kannst.
> >
>
> Ich erhalte dann [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\frac{-y\pm\wurzel{-3y^2+2}}{2}[/mm]
>
> Kann man nun sagen, dass y=0 ist (denn wenn es 1 oder
> größer wäre, würde die Wurzel negativ werden...) und
> dann meine weiteren Werte hiervon berechnen? Oder darf man
> nicht raten?
>
Nein, raten darfst Du nicht.
> >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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Wie komme ich dann zu einer Lösung?
Ich habe versucht das x in die erste Gleichung einzusetzen, allerdings werden die gleichungen dadurch nicht einfacher :(
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Hallo LittleStudi,
> Wie komme ich dann zu einer Lösung?
>
> Ich habe versucht das x in die erste Gleichung einzusetzen,
> allerdings werden die gleichungen dadurch nicht einfacher
> :(
Es gibt auch noch andere Lösungswege.
Löse z.B. die ersten 3 Gleichungen nach [mm]\lambda_{1}[/mm] auf.
Setze je zwei dieser Lösungen gleich.
Daraus ergeben sich dann Lösungen für [mm]\lambda_{2}[/mm].
Setze diese wiederum gleich, und löse nach einer Variablen auf.
Setze dies dann in die 4. Gleichung ein.
Dies ergibt dann wiederum eine Bedingung,
die Du in die letzte Gleichung einsetzen kannst.
Gruss
MathePower
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Ich komme auf die Lösung x=y=z = 0, die kann aber nicht stimmen wie die 5. Gleichung zeigt.
Für meine [mm] \lambda_1 [/mm] erhalte ich
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] -5-2\lambda_2 [/mm] x
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] -1-2\lambda_2 [/mm] y
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] 3-2\lambda_2 [/mm] z
wenn ich die erste und zweite gleichsetzte erhalte ich:
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \frac{2}{y-x}
[/mm]
für die zweite und dritte erhalte ich:
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \frac{2}{z-y}
[/mm]
und die erste und dritte:
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \frac{2}{z+x}
[/mm]
Nun setzte ich hier die erste und zweite Bedinungen gleich und erhalte
2z + 6x - 4y = 0
für die erste und zweite:
2z + 2x = 0
und die zweite und dritte ergibt:
2x + 4y - 2z = 0
Diese 3 gleichungen könnte man nun mit dem Gaußverfahren lösen, allerdings bekomme ich dann die oben geschrieben Lösung :(
Wo ist mein Fehler?
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Hallo LittleStudi,
> Ich komme auf die Lösung x=y=z = 0, die kann aber nicht
> stimmen wie die 5. Gleichung zeigt.
>
> Für meine [mm]\lambda_1[/mm] erhalte ich
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]-5-2\lambda_2[/mm] x
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]-1-2\lambda_2[/mm] y
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]3-2\lambda_2[/mm] z
>
> wenn ich die erste und zweite gleichsetzte erhalte ich:
>
> [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\frac{2}{y-x}[/mm]
>
> für die zweite und dritte erhalte ich:
>
> [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\frac{2}{z-y}[/mm]
>
> und die erste und dritte:
>
> [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\frac{2}{z+x}[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\frac{\red{4}}{z\blue{-}x}[/mm]
>
> Nun setzte ich hier die erste und zweite Bedinungen gleich
> und erhalte
>
> 2z + 6x - 4y = 0
>
> für die erste und zweite:
>
> 2z + 2x = 0
>
> und die zweite und dritte ergibt:
>
> 2x + 4y - 2z = 0
>
> Diese 3 gleichungen könnte man nun mit dem Gaußverfahren
> lösen, allerdings bekomme ich dann die oben geschrieben
> Lösung :(
> Wo ist mein Fehler?
Gruss
MathePower
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> Hallo LittleStudi,
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> > Ich komme auf die Lösung x=y=z = 0, die kann aber nicht
> > stimmen wie die 5. Gleichung zeigt.
> >
> > Für meine [mm]\lambda_1[/mm] erhalte ich
> >
> > [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]-5-2\lambda_2[/mm] x
> > [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]-1-2\lambda_2[/mm] y
> > [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]3-2\lambda_2[/mm] z
> >
> > wenn ich die erste und zweite gleichsetzte erhalte ich:
> >
> > [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\frac{2}{y-x}[/mm]
> >
> > für die zweite und dritte erhalte ich:
> >
> > [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\frac{2}{z-y}[/mm]
> >
> > und die erste und dritte:
> >
> > [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\frac{2}{z+x}[/mm]
> >
>
>
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\frac{\red{4}}{z\blue{-}x}[/mm]
>
>
> >
> > Nun setzte ich hier die erste und zweite Bedinungen gleich
> > und erhalte
> >
> > 2z + 6x - 4y = 0
> >
> > für die erste und zweite:
> >
> > 2z + 2x = 0
> >
> > und die zweite und dritte ergibt:
> >
> > 2x + 4y - 2z = 0
> >
> > Diese 3 gleichungen könnte man nun mit dem Gaußverfahren
> > lösen, allerdings bekomme ich dann die oben geschrieben
> > Lösung :(
> > Wo ist mein Fehler?
>
>
>
> Gruss
> MathePower
Also nun erhalte ich jedoch dieses Gleichungssystem:
x - 2y + z = 0
x + z = 0
x - 2y + z = 0
Hierfür gibt es ja aber auch nur die Lösung x=y=z=0 :(
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Hallo LittleStudi,
> > Hallo LittleStudi,
> >
> > > Ich komme auf die Lösung x=y=z = 0, die kann aber nicht
> > > stimmen wie die 5. Gleichung zeigt.
> > >
> > > Für meine [mm]\lambda_1[/mm] erhalte ich
> > >
> > > [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]-5-2\lambda_2[/mm] x
> > > [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]-1-2\lambda_2[/mm] y
> > > [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]3-2\lambda_2[/mm] z
> > >
> > > wenn ich die erste und zweite gleichsetzte erhalte ich:
> > >
> > > [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\frac{2}{y-x}[/mm]
> > >
> > > für die zweite und dritte erhalte ich:
> > >
> > > [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\frac{2}{z-y}[/mm]
> > >
> > > und die erste und dritte:
> > >
> > > [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\frac{2}{z+x}[/mm]
> > >
> >
> >
> > Hier muss es doch lauten:
> >
> > [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\frac{\red{4}}{z\blue{-}x}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > Nun setzte ich hier die erste und zweite Bedinungen gleich
> > > und erhalte
> > >
> > > 2z + 6x - 4y = 0
> > >
> > > für die erste und zweite:
> > >
> > > 2z + 2x = 0
> > >
> > > und die zweite und dritte ergibt:
> > >
> > > 2x + 4y - 2z = 0
> > >
> > > Diese 3 gleichungen könnte man nun mit dem Gaußverfahren
> > > lösen, allerdings bekomme ich dann die oben geschrieben
> > > Lösung :(
> > > Wo ist mein Fehler?
> >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Also nun erhalte ich jedoch dieses Gleichungssystem:
>
> x - 2y + z = 0
> x + z = 0
> x - 2y + z = 0
>
> Hierfür gibt es ja aber auch nur die Lösung x=y=z=0 :(
Es gibt hier unendlich viele Lösungen,
da die erste und dritte Gleichung identisch sind.
Hieraus bekommst Du weitere Bedingungen, die gelten müssen.
Setze diese Bedingungen in die Gleichung
[mm]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1[/mm]
ein.
Gruss
MathePower
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Okay - es ist geschafft :)
Ich habe die Lösungen heraus und die Probe hat auch geklappt :)
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe :)))
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