Gleichungssystem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Do 17.06.2010 | | Autor: | fiktiv |
Hallo,
über die LaGrange-Methode bin ich auf ein Gleichungssystem der folgenden Art gekommen:
1) [mm]L_{x} = 2*x+10*k*x-8*k*y=0[/mm]
2) [mm]L_{y} = 2*y+10*k*y-8*k*x=0[/mm]
3) [mm]L_{k} = 5*x^2+5*y^2-8*x*y-18=0[/mm]
In welchem Verfahren würdet ihr das Gleichungssystem lösen?
Nach einer Variable aufzulösen und sie in die anderen einzusetzen erscheint mir nicht so vielversprechend..
Auch ein Gauß-Schema wüsste ich durch die Quadrate in der dritten Gleichung nicht aufzustellen. Mh.
Vielen Dank im Vorfeld.
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Hallo fiktiv,
die ersten beiden Gleichungen bilden doch ein lineares Gleichungssystem in den Variablen x und y.
Wenn Du es löst, stellst Du aber fest, dass die dritte Gleichung nicht erfüllt ist.
Ist das System also richtig aufgestellt, ist insbesondere der Parameter k in der ersten und zweiten Gleichung wirklich identisch?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Do 17.06.2010 | | Autor: | fiktiv |
Hallo, ich schreibe es rasch mal vollständig auf.
[mm]f(x,y)=x^2+y^2[/mm]
NB: [mm]0=5x^2+5y^2-8xy-18[/mm]
Daraus folgt: [mm]L(x,y,k)=x^2+y^2+k*(5x^2+5y^2-8xy-18)[/mm]
Daraus sind dann die besagten Ableitungen gebildet,
1) [mm]L_{x} = 2x+10kx-8ky=0[/mm]
2) [mm]L_{y} = 2y+10ky-8kx=0[/mm]
3) [mm]L_{k} = 5x^2+5y^2-8xy-18=0[/mm]
ich sehe eigentlich keinen Fehler. Übrigens gibt mir Wolfram damit auch vier Punkte aus.. aber wie ich auf Papier dazu komme, ist mir noch nicht ganz deutlich. :-/
Viele Grüße.
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> Hallo, ich schreibe es rasch mal vollständig auf.
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> [mm]f(x,y)=x^2+y^2[/mm]
> NB: [mm]0=5x^2+5y^2-8xy-18[/mm]
> Daraus folgt: [mm]L(x,y,k)=x^2+y^2+k*(5x^2+5y^2-8xy-18)[/mm]
>
> Daraus sind dann die besagten Ableitungen gebildet,
> 1) [mm]L_{x} = 2x+10kx-8ky=0[/mm]
> 2) [mm]L_{y} = 2y+10ky-8kx=0[/mm]
> 3)
> [mm]L_{k} = 5x^2+5y^2-8xy-18=0[/mm]
Hallo,
<==>
1) x+k(5x-4y)=0
2) y+k(5y-4x)=0
3) [mm] 5x^2+5y^2-8xy-18=0
[/mm]
Aus 1) erhalt man:
Fall 1.1: [mm] 5x-4y\not=0
[/mm]
Dann ist [mm] k=\bruch{-x}{5x-4y}
[/mm]
Fall 1.2: 5x-4y=0
Dann ist x=0, y=0, einsetzen in 3) ergibt Widerspruch.
Also weiter mit 1.1.
Einsetzen in 2) ergibt nach Mult. mit (5x-4y): 0=y*(5x-4y) [mm] -x(5y-4x)=5xy-4y^2 [/mm] - 5xy [mm] +4x^2 =4x^2-4y^2 [/mm] ==> [mm] x^2=y^2.
[/mm]
Also ist x=y oder x=-y, und damit kannst Du jetzt in 3) gehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Do 17.06.2010 | | Autor: | fiktiv |
Hallo Angela!
Wow, vielen Dank.
Mit dem Ansatz komme ich auf die beiden Variablenkombinationen:
[mm]x_{1}=3, y_{1}=3, k_{1}=-1[/mm]
[mm]x_{2}=-3, y_{2}=-3, k_{2}=-1[/mm]
Nun glaube ich aber zu wissen (Wolframalpha), dass es noch die beiden Kombinationen gibt:
[mm]x_{1}=-1, y_{1}=1, k_{1}=-\bruch{1}{9}[/mm]
[mm]x_{2}=1, y_{2}=-1, k_{2}=-\bruch{1}{9}[/mm]
Und wenn ich mich nicht vertippt habe, passen die auch in die Bedingungen und widersprechen ja auch nicht unserem Ergebnis aus 1.1 (x=y od. x=-y).
Wie kommt man also auf die beiden ausstehenden Kombinationen?
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> Hallo Angela!
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> Wow, vielen Dank.
> Mit dem Ansatz komme ich auf die beiden
> Variablenkombinationen:
> [mm]x_{1}=3, y_{1}=3, k_{1}=-1[/mm]
> [mm]x_{2}=-3, y_{2}=-3, k_{2}=-1[/mm]
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> Nun glaube ich aber zu wissen (Wolframalpha), dass es noch
> die beiden Kombinationen gibt:
> [mm]x_{1}=-1, y_{1}=1, k_{1}=-\bruch{1}{9}[/mm]
> [mm]x_{2}=1, y_{2}=-1, k_{2}=-\bruch{1}{9}[/mm]
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> Und wenn ich mich nicht vertippt habe, passen die auch in
> die Bedingungen und widersprechen ja auch nicht unserem
> Ergebnis aus 1.1 (x=y od. x=-y).
> Wie kommt man also auf die beiden ausstehenden
> Kombinationen?
Hallo,
meine letzte Folgerung war doch x=y oder x=-y,
und Du hast nur die erste davon bearbeitet.
Gruß v. Angela
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