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Gleichungslösung über ln?: Lösen einer Gleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Fr 22.03.2013
Autor: Jack2401

Aufgabe
[mm] 2^{x}=5x-1 [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo mache gerade ein paar Übungsaufgaben und irgendwie fehlt mir ne Regel zum Lösen der Gleichung [mm] 2^{x}=5x-1. [/mm]

Hoffe jemand kann kurzfristig helfen.

Danke
Gruß
Jack2401

        
Bezug
Gleichungslösung über ln?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Fr 22.03.2013
Autor: barsch

Hallo,

> [mm]2^{x}=5x-1[/mm]
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo mache gerade ein paar Übungsaufgaben und irgendwie
> fehlt mir ne Regel zum Lösen der Gleichung [mm]2^{x}=5x-1.[/mm]

eine "Regel" kenne ich da jetzt auch nicht. Mein Tipp wäre:

Betrachte die Funktion [mm]f(x)=2^x-5\cdot{x}+1[/mm].

Betrachte den Verlauf der Funktion, gucke, wie viele Nullstellen f hat und bestimme f(x)=0 z.B. mit dem Newton-Verfahren.


> Hoffe jemand kann kurzfristig helfen.
>  
> Danke
>  Gruß
>  Jack2401

Gruß
barsch


Bezug
                
Bezug
Gleichungslösung über ln?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Fr 22.03.2013
Autor: Jack2401

Ok der Hinweis mit dem Newton verfahren hilft sich der Lösung zu Nähern,

die erste Ableitung sollte:
f'(x)= [mm] x2^{x-1}-5 [/mm] sein.

Bin jetzt bei einem Wert x=4,388289 (Gott sei dann gibt es Excel)

Hoffe jemand kennt noch einen korrekten Rechenschritt zu exakten Lösung der Gleichung

Gruß
Tobias

Bezug
                        
Bezug
Gleichungslösung über ln?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Fr 22.03.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Tobias,


> Ok der Hinweis mit dem Newton verfahren hilft sich der
> Lösung zu Nähern,
>
> die erste Ableitung sollte:
> f'(x)= [mm]x2^{x-1}-5[/mm] sein. [notok]

Oha!

Das ist Murks! Das [mm]x[/mm] bei [mm]2^x[/mm] steht doch im Exponenten, da kannst du die "normale" Potenzregel nicht anwenden.

Es ist [mm]2^x=e^{\ln\left(2^x\right)}=e^{x\cdot{}\ln(2)}[/mm]


Also [mm]\frac{d}{dx}2^x=\ln(2)\cdot{}e^{x\cdot{}\ln(2)}=\ln(2)\cdot{}2^x[/mm]

>  
> Bin jetzt bei einem Wert x=4,388289 (Gott sei dann gibt es
> Excel)
>  
> Hoffe jemand kennt noch einen korrekten Rechenschritt zu
> exakten Lösung der Gleichung
>  
> Gruß
>  Tobias

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Gleichungslösung über ln?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:11 Fr 22.03.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]2^{x}=5x-1[/mm]
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo mache gerade ein paar Übungsaufgaben und irgendwie
> fehlt mir ne Regel zum Lösen der Gleichung [mm]2^{x}=5x-1.[/mm]
>  

vielleicht geht es ja nur um die Existenz einer Lösung?

Das begründet man etwa so: Die Funktion
$$f [mm] \colon \IR \to \IR$$ [/mm]
mit
[mm] $$f(x):=2^x-5x+1$$ [/mm]
ist stetig und erfüllt

    [mm] $\bullet$ $f(1)=2^1-5*1+1=\;-2\;<\;0$ [/mm]

sowie

    [mm] $\bullet$ [/mm] $f(5)=32-25+1=8 > [mm] 0\,.$ [/mm]
(Beweis der Stetigkeiz?)

Die Anwendung des Zwischenwertsatzes auf (die stetige Funktion) [mm] $f_{|[1,5]}$ [/mm]
liefert, dass ein [mm] $x_0 \in [/mm] [1,5]$ mit [mm] $f_{|[1,5]}(x_0)=f(x_0)=0$ [/mm] existiert.

Gruß,
  Marcel

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