Gleichungen mit Körpern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mi 19.11.2008 | | Autor: | chriz123 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Elemente x aus dem jeweils angegebenen Körper K, für die die angegebene Gleichung erfüllt ist.
(1) [mm] $x^5 [/mm] + [mm] x^4 [/mm] + 1 = 0$ (K ist einer der Körper [mm] $\IF_{3}$, $\IF_{7}$ [/mm] )
(2) [mm] $x^{3} [/mm] - 1 = 0 $ (K ist einer der Körper [mm] $\IF_{3}$, $\IQ$ [/mm] , [mm] $\IC$) [/mm] |
Meine Frage ist wie ich da überhaupt anfange, da es sich um Körper handelt.
Also bei den Körpern [mm] $\IQ$ [/mm] und [mm] $\IC$ [/mm] kann ich wohl einfach die Gleichung lösen mit $x [mm] \in \IQ, [/mm] x [mm] \in \IC$.
[/mm]
Aber was ist mit [mm] $\IF_{3}$, [/mm] das ist nach Definition ein Körper mit 3 Elementen, aber was für Elemente??
Ich kann doch nicht einfach beliebige nehmen??
Bräuchte da einen Tipp!
Vielen Dank!
chriz123
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:56 Do 20.11.2008 | | Autor: | chriz123 |
> Bestimmen Sie die Elemente x aus dem jeweils angegebenen
> Körper K, für die die angegebene Gleichung erfüllt ist.
>
> (1) [mm]x^5 + x^4 + 1 = 0[/mm] (K ist einer der Körper [mm]\IF_{3}[/mm],
> [mm]\IF_{7}[/mm] )
> (2) [mm]x^{3} - 1 = 0[/mm] (K ist einer der Körper [mm]\IF_{3}[/mm], [mm]\IQ[/mm] ,
> [mm]\IC[/mm])
> Meine Frage ist wie ich da überhaupt anfange, da es sich
> um Körper handelt.
> Also bei den Körpern [mm]\IQ[/mm] und [mm]\IC[/mm] kann ich wohl einfach die
> Gleichung lösen mit [mm]x \in \IQ, x \in \IC[/mm].
> Aber was ist mit
> [mm]\IF_{3}[/mm], das ist nach Definition ein Körper mit 3
> Elementen, aber was für Elemente??
> Ich kann doch nicht einfach beliebige nehmen??
>
> Bräuchte da einen Tipp!
> Vielen Dank!
> chriz123
Könnte es sein das mit [mm]\IF_{3}[/mm], also einem Körper mit 3 Elementen, gemeint ist das diese Gleichung für drei verschiedene x erfüllt ist???
Und kann ich einfach annehmen, dass x z.B. Element der reelen Zahlen ist??
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Hallo!
Mit [mm] \IF_{3} [/mm] ist der Körper auf der Menge [mm] \{0,1,2\} [/mm] gemeint, auf dem Addition und Multiplikation an die Modulo-Rechnung gekoppelt sind, d.h. 1 + 2 = 0, 1 + 1 + 1 = 0, 2*2 = 1, 2 + 2 = 1, usw.
Analog [mm] \IF_{7}.
[/mm]
Für [mm] \IF_{3} [/mm] könnte man das ja mal ganz unbedarft ausprobieren. Bei [mm] \IF_{7} [/mm] musst du dir was anderes überlegen, sieh mal in deinen Mitschriften nach wie ihr sowas gelöst habt.
Die Gleichung (2) kannst du ja zunächst faktorisieren, also
[mm] (x^{3}-1) [/mm] = [mm] (x-1)*(x^{2}+x+1)
[/mm]
weil du wirst wahrscheinlich gerade in [mm] \IF_{3} [/mm] nicht die Wurzel ziehen können. Auch hier evtl. unbedarft alle drei Elemente ausprobieren.
Stefan.
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