Gleichungen dreier Parabeln < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:04 So 11.09.2005 | | Autor: | SeAeLeR |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
so jetzt zu meinem Problem:
ich habe eine Aufgabe gestellt bekommen wobei Drei gleich weit geöffnete Parabeln so aneinandergesetzt sind das die Enden der beiden aüßeren Parabeln auf Hochpunkten liegen.
Also ich habe den Schnittpunkt der mittleren S(0/-20) und einen Punkt der rechten Parabel P1(200/12) da in der Ordinate auch die Symetrie Achse verläuft habe ich auch den Punkt P2(-200/12).
Ich soll die Gleichungen der drei Parabeln sowie ihre Schnittpunkte ausrechnen was eigentlich einfach wäre wenn ich nur von der mittleren noch einen Punkt hätte.
Ich weiß nicht wie ich die Gleichungen der Parabeln bekomme.Klar wenn ich eine hätte könnte ich die auf die anderen übertragen.
würde mich freuen wenn mich einer auf den Lösungsweg führt.
mfG
Marcel
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Hallo Marcel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
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> ich habe eine Aufgabe gestellt bekommen wobei Drei gleich
> weit geöffnete Parabeln so aneinandergesetzt sind das die
> Enden der beiden aüßeren Parabeln auf Hochpunkten liegen.
Heißt das, dass die Scheitelpunkte der äußeren Parabeln jedenfalls auf der mittleren Parabel liegen sollen?
>
> Also ich habe den Schnittpunkt der mittleren S(0/-20) und
meinst du damit den Scheitelpunkt der mittleren Parabel?
Dann kannst du ihre Funktionsgleichung durch die  Scheitelpunktform der Parabel bestimmen.
Dabei bleibt zunächst mal der Streck-Stauch-Faktor a als Variable stehen.
> einen Punkt der rechten Parabel P1(200/12) da in der
> Ordinate auch die Symetrie Achse verläuft habe ich auch den
> Punkt P2(-200/12).
Das sind wohl nicht die Scheitelpunkte der beiden anderen Parabeln, oder?!
Wenn die ganze Figur symmetrisch zur 2. Achse sein soll, reicht es schon, nur die rechte Hälfte weiter zu untersuchen, die andere ist ja dann spiegelbildlich zu emitteln.
>
> Ich soll die Gleichungen der drei Parabeln sowie ihre
> Schnittpunkte ausrechnen was eigentlich einfach wäre wenn
> ich nur von der mittleren noch einen Punkt hätte.
>
> Ich weiß nicht wie ich die Gleichungen der Parabeln
> bekomme.Klar wenn ich eine hätte könnte ich die auf die
> anderen übertragen.
>
> würde mich freuen wenn mich einer auf den Lösungsweg
> führt.
>
> mfG
>
> Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 So 11.09.2005 | | Autor: | SeAeLeR |
Ja ich meinte Den Scheitelpunkt der mittleren Parabel.
Nei das sind nicht die Scheitelpunkte der anderen beiden Parabeln.
also sollte ich den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen und dann nach a2 auflösen?
Also ich habe den Scheitelpunkt jetzt mal in die Scheitelpunktform eingesetzt:
f(x)=a2 (x-0)-20
nur jetzt komme ich nicht weiter und kann auch nicht glauben das ich nur mit dem Scheitelpunkt einer Parabel deren Gleichung herrausfinden kann Ich scan die Aufgabe gleich mal ein und hänge sie an meinen Beitrag dran vielleicht versteht man das dann besser als wenn ich das so beschreibe.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Dateianhang 1
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Ja ich meinte Den Scheitelpunkt der mittleren Parabel.
> Nei das sind nicht die Scheitelpunkte der anderen beiden
> Parabeln.
> also sollte ich den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform
> einsetzen und dann nach a2 auflösen?
>
> Also ich habe den Scheitelpunkt jetzt mal in die
> Scheitelpunktform eingesetzt:
>
> f(x)=a2 (x-0)-20
>
> nur jetzt komme ich nicht weiter und kann auch nicht
> glauben das ich nur mit dem Scheitelpunkt einer Parabel
> deren Gleichung herrausfinden kann Ich scan die Aufgabe
> gleich mal ein und hänge sie an meinen Beitrag dran
> vielleicht versteht man das dann besser als wenn ich das so
> beschreibe.
>
> Dateianhang 1
danke, das hatte ich mir ganz anders vorgestellt!
Jetzt muss ich erstmal neu denken ...
Kannst du vielleicht nur die Skizze noch einmal einscannen und als png-Bild mit [ img]1[/ img] in der richtigen Orientierung hier einbinden? Dann kann man viel besser mitdenken. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 So 11.09.2005 | | Autor: | SeAeLeR |
Klar wenn mir dadurch geholfen wird ;)
[Dateianhang nicht öffentlich]
PS: DIe dunkleren Linien sind die Weiterführungen der gesuchten Parabeln.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ich fasse mal zusammen:
gegeben ist die mittlere Parabel [mm] p_1 [/mm] durch [mm] $p_1(x) [/mm] = [mm] a_1*x^2 [/mm] -20$ (#1). Das hattest du auch schon,
weiter eine zweite Parabel mit folgenden Eigenschaften: [mm] $p_2(x) [/mm] = [mm] a_2x^2+bx+c$ [/mm] und
* der Punkt (200;12) liegt auf [mm] p_2: $p_2(200) [/mm] = 12$ (#2)
* [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] haben einen gemeinsamen Berührpunkt: [mm] $p_1(x_1) [/mm] = [mm] p_2(x_1)$ [/mm] (#3)
* dort haben beide dieselbe Steigung: [mm] $p_1'(x_1)=p_2'(x_1)$ [/mm] (#4)
Damit hast du 4 Gleichungen für die Variablen [mm] a_1, a_2, [/mm] b und c und solltest die Aufgabe eigentlich lösen können.
[edit] Da die Parabeln dieselbe Öffnung haben sollen, muss wohl [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] gelten, denn wir haben ja auch noch die Variable [mm] x_1 [/mm] zu bedienen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 So 11.09.2005 | | Autor: | SeAeLeR |
Also da [mm] a_{1} [/mm] = [mm] a_{2} [/mm] ist müsste ich jetzt nurnoch wissen wie man aus:
[mm] $p_1(x) [/mm] = [mm] a_1*x^2 [/mm] -20$
$a$ herraus bekommt den daran hänge ich hauptsächlich.
Ich bedanke mich schonmal für die viele Arbeit!
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> Also da [mm]a_{1}[/mm] = [mm]a_{2}[/mm] ist müsste ich jetzt nurnoch wissen
> wie man aus:
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> [mm]p_1(x) = a_1*x^2 -20[/mm]
>
> [mm]a[/mm] herraus bekommt den daran hänge ich hauptsächlich.
>
> Ich bedanke mich schonmal für die viele Arbeit!
Dafür hast du doch die von mir genannten anderen Gleichungen mit der Parabel [mm] p_2, [/mm] bei der b [mm] \ne [/mm] 0 gelten muss!
Denn die Parabel schneidet die y-Achse irgendwo bei y<-20, ist nach unten geöffnet
[mm] \gdw [/mm] obige Eigenschaft ist falsch! Es muss gelten: [mm] a_2 [/mm] = [mm] -a_1 [/mm] !!!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 11.09.2005 | | Autor: | SeAeLeR |
Ok das [mm] $a_{1} $=-$a_{2}$ [/mm] ist leuchtet ein aber ich weiss nicht wie ich aus diesen Gleichungen $a$ herraus bekomme.
der Punkt (200;12) liegt auf [mm] p_2: $p_2(200) [/mm] = 12$ (#2)
[mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] haben einen gemeinsamen Berührpunkt: [mm] $p_1(x_1) [/mm] = [mm] p_2(x_1)$ [/mm] (#3)
dort haben beide dieselbe Steigung: [mm] $p_1'(x_1)=p_2'(x_1)$ [/mm] (#4)
ich weiß echt nicht wie ich a herraus bekommen soll.
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> Ok das [mm]a_{1} [/mm]=-[mm]a_{2}[/mm] ist leuchtet ein aber ich weiss nicht
> wie ich aus diesen Gleichungen [mm]a[/mm] herraus bekomme.
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> der Punkt (200;12) liegt auf [mm]p_2:[/mm] [mm]p_2(200) = 12[/mm]
> (#2)
> [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm] haben einen gemeinsamen Berührpunkt: [mm]p_1(x_1) = p_2(x_1)[/mm]
> (#3)
> dort haben beide dieselbe Steigung: [mm]p_1'(x_1)=p_2'(x_1)[/mm]
> (#4)
>
> ich weiß echt nicht wie ich a heraus bekommen soll.
[mm] $p_1(x) [/mm] = a [mm] x^2-20$
[/mm]
[mm] $p_2(x) [/mm] = -a [mm] x^2 [/mm] + bx +c$
Eine weitere Eigenschaft habe ich überlesen: der Tunnelausgang liegt im Hochpunkt der seitlichen Parabeln: [mm] $p_2'(x)=0$ [/mm] (#5)!
Kannst du diese von mir aufgestellten Gleichungen mal aufschreiben?
.. und vielleicht auch als Gleichungssystem lösen?
zur Kontrolle: $a = [mm] \bruch{1}{625}$, [/mm] $b = [mm] \bruch{16}{25}$, [/mm] $c = 12$
Übergangspunkt = Berührpunkt (100;-4)
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Dateianhang 1