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| Aufgabe 1 | | [mm]|z+w|^2 +|z -w|^2 = 2|z|^2 +2|w|^2[/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm]\bruch {|z+w|}{1+|z+w|}\le \bruch{|z|}{1+|z|}+\bruch{|w|}{1+|w|}[/mm] |
Aufgabe 1 habe ich durch Verwendung von z=x+iy und w=u+iv und entsprechender Ausmultiplikation gelöst.
Vielleicht war das zu umständlich, ging aber.
Bei der zweiten Aufgabe versuche ich (nach einem langen zu nichts führenden Versuch wie bei der 1. Aufgabe) die ja auch bei komplexen Zahlen geltende Dreiecksungleichung |z+w|<=|z|+|w| zu verwenden, steh mir aber dauernd im Weg.
Mein letzter Versuch war
[mm]\bruch {|z+w|}{1+|z|+|w|}\le \bruch{|z+w|}{1+|z+w|}[/mm] und damit wollte ich dann zeigen, dass [mm]\bruch {|z+w|}{1+|z|+|w|}\le \bruch{|z|}{1+|z|}+\bruch{|w|}{1+|w|}[/mm] gilt.
Dies war leicht und zweifelsohne auch richtig, jedoch nicht zielführend, denn bei 1<5 und dann 1<4 könnte ich ja auch nicht folgern, dass 5<4.
Was kann ich denn noch sinnvoll umformen bzw. abschätzen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:48 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo mathe-asse,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]|z+w|^2 +|z−w|^2[/mm] = [mm]2|z|^2 +2|w|^2[/mm]
>
> [mm]\bruch {|z+w|}{1+|z+w|}\le \bruch{|z|}{1+|z|}+\bruch{|w|}{1+|w|}[/mm]
>
> Aufgabe 1 habe ich durch Verwendung von z=x+iy und w=u+iv
> und entsprechender Ausmultiplikation gelöst.
> Vielleicht war das zu umständlich, ging aber.
>
> Bei der zweiten Aufgabe versuche ich (nach einem langen zu
> nichts führenden Versuch wie bei der 1. Aufgabe) die ja
> auch bei komplexen Zahlen geltende Dreiecksungleichung
> |z+w|<=|z|+|w| zu verwenden, steh mir aber dauernd im Weg.
>
> Mein letzter Versuch war
> [mm]\bruch {|z+w|}{1+|z|+|w|}\le \bruch{|z+w|}{1+|z+w|}[/mm] und
> damit wollte ich dann zeigen, dass [mm]\bruch {|z+w|}{1+|z|+|w|}\le \bruch{|z|}{1+|z|}+\bruch{|w|}{1+|w|}[/mm]
> gilt.
>
> Dies war leicht und zweifelsohne auch richtig, jedoch nicht
> zielführend, denn bei 1<5 und dann 1<4 könnte ich ja auch
> nicht folgern, dass 5<4.
Du solltest auch nicht einmal nach oben und einmal nach unten abschätzen.
> Was kann ich denn noch sinnvoll umformen bzw.
> abschätzen??
Die Dreiecksungleichung ist doch schon mal ne gute Idee.
Fang mal mit den Zähler an: [mm]\frac{|z+w|}{1+|z+w|}\le\frac{|z|}{1+|z+w|}+\frac{|w|}{1+|z+w|}[/mm].
Wenn du die Nenner jetzt verkleinerst (also statt $|z+w|$ etwa nur noch $|z|$ schreibst), wie ändert das den Wert des Bruchs?
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 02:00 Sa 14.02.2015 | | Autor: | Psychopath |
> Fang mal mit den Zähler an:
> [mm]\frac{|z+w|}{1+|z+w|}\le\frac{|z|}{1+|z+w|}+\frac{|w|}{1+|z+w|}[/mm].
> Wenn du die Nenner jetzt verkleinerst (also statt [mm]|z+w|[/mm]
> etwa nur noch [mm]|z|[/mm] schreibst), wie ändert das den Wert des
> Bruchs?
> Lieben Gruß,
> Fulla
Ich verstehe gut, wie dein Beweis aussehen soll , aber ist glaube, da ist ein Denkfehler: Wenn du "innerhalb" des Betragszeichens eine komplexe Zahl wegläßt, z.B. statt |z+w| nur |z|, dann kann |z| sowohl größer oder kleiner als |z+w| sein. Denk mal an die grafische Addition von komplexen Zahlen in der Gaussebene.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]|z+w|^2 +|z−w|^2[/mm] = [mm]2|z|^2 +2|w|^2[/mm]
Das lautet so (wie ich dem Quelltext entnehme):
[mm]|z+w|^2 +|z-w|^2[/mm] = [mm]2|z|^2 +2|w|^2[/mm]
>
> [mm]\bruch {|z+w|}{1+|z+w|}\le \bruch{|z|}{1+|z|}+\bruch{|w|}{1+|w|}[/mm]
>
> Aufgabe 1 habe ich durch Verwendung von z=x+iy und w=u+iv
> und entsprechender Ausmultiplikation gelöst.
> Vielleicht war das zu umständlich, ging aber.
Einfacher geht es, wenn Du [mm] $\xi* \bar \xi=|\xi|^2$ [/mm] $( [mm] \xi \in \IC)$
[/mm]
verwendest.
FRED
>
> Bei der zweiten Aufgabe versuche ich (nach einem langen zu
> nichts führenden Versuch wie bei der 1. Aufgabe) die ja
> auch bei komplexen Zahlen geltende Dreiecksungleichung
> |z+w|<=|z|+|w| zu verwenden, steh mir aber dauernd im Weg.
>
> Mein letzter Versuch war
> [mm]\bruch {|z+w|}{1+|z|+|w|}\le \bruch{|z+w|}{1+|z+w|}[/mm] und
> damit wollte ich dann zeigen, dass [mm]\bruch {|z+w|}{1+|z|+|w|}\le \bruch{|z|}{1+|z|}+\bruch{|w|}{1+|w|}[/mm]
> gilt.
>
> Dies war leicht und zweifelsohne auch richtig, jedoch nicht
> zielführend, denn bei 1<5 und dann 1<4 könnte ich ja auch
> nicht folgern, dass 5<4.
>
> Was kann ich denn noch sinnvoll umformen bzw.
> abschätzen??
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke für den Hinweis!! Ich sehe es nicht immer, wenn ich ein anderes als das vorgesehene Ergebnis bekomme. Da stand im Eingabefenster z-w ... und dann fehlte das Minus?! Sorry. Ist jetzt korrigiert.
Zum Lösungsvorschlag zur 1. Aufgabe: Auf der rechten Seite kann man dies ja verwenden - das sehe selbst ich. Aber wie auf der linken Seite?
Mein Mehrteiler führte ja zum Erfolg. Tipps nehme ich gerne (soweit ich sie verstehe) dankbar an!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Mi 26.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
es ist [mm] $|z\pm w|^2=(z\pm w)(\overline{z\pm w})=|z|^2\pm2\Re(\overline{z}w)+|w|^2$, [/mm] wie man durch Ausmultiplizieren sieht.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Do 27.11.2014 | | Autor: | mathe-assi |
Danke für die Hilfe! Dieser Ansatz stand auf dem ersten Blatt - und ich hatte ihn blinderweise verworfen, weil mir das viel zu einfach erschien. Manchmal steht man gewaltig auf der Leitung!
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