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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Di 04.11.2014 | | Autor: | unfaehik |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie: Für alle n [mm] \in [/mm] N gilt: 3 > (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n \ge [/mm] 2. |
| Aufgabe 2 | Für n reele Zahlen [mm] x_1,....,x_n \in \IR [/mm] definieren wir:
[mm] x_a(n) [/mm] = [mm] \bruch{x_1+....+x_n}{n}
[/mm]
Sind alle [mm] x_i [/mm] nichtnegativ sind, so setzen wir außerdem:
[mm] x_g(n) [/mm] = [mm] \wurzel[n]{x_1*....*x_n}
[/mm]
Zeigen Sie: Existiert [mm] x_g(n), [/mm] so gilt die Ungleichung [mm] x_a(n) \ge x_g(n). [/mm] |
| Aufgabe 3 | Seien [mm] x_1,...,x_n,y_1,....,y_n \in \IR. [/mm] Beweisen Sie die Ungleichung
[mm] (\summe_{i=1}^{n}x_i*y_i)^2 \le (\summe_{i=1}^{n}x_i^2) [/mm] * [mm] (\summe_{i=1}^{n}y_i^2) [/mm] |
Nr 1 hab ich so gelöst:
Anname: (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n \le [/mm] 2
n = 1
2 = 2
n = 2
2,25 = 2 <-- Widerspruch
Annahme: (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] > 3
n = 1
2 > 3 <--- Widerspruch
Wenn man [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] setzt kriegt man für (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] einen Wert zwischen 2 und 3.
Wäre die erste Aufgabe so gelöst ? Wenn nein, wie ist dann die Lösung?
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Nr 2 hab ich so gelöst:
Annahme [mm] x_a(n) [/mm] = [mm] x_g(n)
[/mm]
[mm] x_a(n) [/mm] = [mm] x_g(n) [/mm] | *n | quadrieren
[mm] (x_1+...+x_2)^n [/mm] = [mm] x_1*....*x_n*n
[/mm]
n = 1
Dann haben wir: [mm] (x_1)^1 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] * 1 = [mm] x_1
[/mm]
n = 2
[mm] (x_1+x_2)^2 [/mm] = [mm] x1_*x_2*2
[/mm]
[mm] x_1^2+2*x_1*x_2+x_2^2 [/mm] = [mm] x_1*x_2*2
[/mm]
[mm] x_1^2+x_2^2 [/mm] + [mm] 2*x_1*x_2 [/mm] = [mm] 2*x_1*x_2 [/mm] <--- Nicht gleich. Linke Seite ist größer.
Wäre die Aufgabe so gelöst ? Wenn nein, wie ist dann die lösung ?
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Aufgabe 3 habe ich so gelöst:
Ich habe angenommen beide Seiten sind gleich. Dann hab ich durch [mm] x_i [/mm] und [mm] y_i [/mm] geteilt und die gleichung sah dann so aus:
[mm] (\summe_{i=1}^{n}1)^2 [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n}x_i) [/mm] * [mm] (\summe_{i=1}^{n}y_i) [/mm] <--- Man sieht es ist nicht gleich sondern sieht so aus:
[mm] (\summe_{i=1}^{n}1)^2 \le (\summe_{i=1}^{n}x_i) [/mm] * [mm] (\summe_{i=1}^{n}y_i)
[/mm]
Wäre die Aufgabe so richtig gelöst ? Wenn nein, wie ist dann die Lösung ?
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Hallo,
mal die erste Aufgabe:
> Zeigen Sie: Für alle n [mm]\in[/mm] N gilt:
> $\ 3\ >\ \ [mm] \underbrace{(1\ + \ \bruch{1}{n})^n}_{T_n}\ [/mm] \ [mm] \ge\ [/mm] 2$
> Nr 1 hab ich so gelöst:
> Annahme: (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n \le[/mm] 2 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Willst du also einen Beweis durch Widerspruch führen ?
Dann beachte: die Negation von $\ [mm] T_n\ \ge\ [/mm] 2$ lautet nicht
$\ [mm] T_n\ \le\ [/mm] 2$ , sondern $\ [mm] T_n\ [/mm] < \ 2$ !
> n = 1
> 2 = 2
( kein Widerspruch zu $\ [mm] T_n\ \le\ [/mm] 2 $ !! )
Damit wäre deine Art des Widerspruchsbeweises schon
bei n=1 gescheitert ...
> n = 2
> 2,25 = 2 <-- Widerspruch
Na gut, für n=2 klappt's zwar, aber dann bleiben noch
weitere unendlich viele n-Werte zu prüfen !
Also dieser Teil des Beweises klappt offenbar so nicht.
Es wäre jedoch sehr nützlich, wenn du eine wichtige
Eigenschaft der Folge $\ [mm] <\,T_n\, >_{n\in\IN}$ [/mm] nachweisen könntest,
nämlich ihre Monotonieeigenschaft !
> Annahme: (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] > 3
Auch hier: das Gegenteil von $\ [mm] T_n\ [/mm] <\ 3$ wäre nicht $\ [mm] T_n\ [/mm] >\ 3$ ,
sondern $\ [mm] T_n\ \ge\ [/mm] 3$
> n = 1
> 2 > 3 <--- Widerspruch
Auch hier: du weist hier nur ein einziges n, nämlich n=1
vor, für welches die Ungleichung $\ [mm] T_n\ [/mm] <\ 3$ gilt,
aber es ist viel, viel mehr zu zeigen, nämlich dass die
Ungleichung $\ [mm] T_n\ [/mm] <\ 3$ für alle natürlichen Zahlen
n gültig ist.
> Wenn man [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] setzt kriegt man für
> (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] einen Wert zwischen 2 und 3.
(Das trifft zwar zu; nachgewiesen hast du dies aber
bei Weitem nicht ...)
Der gefragte Beweis ist nicht ganz einfach, aber er
spielt eine ganz wichtige Rolle bei der Einführung der
Basis e der natürlichen Logarithmen. Meistens wird auch
nicht erwartet, dass Studenten diesen Beweis ohne
gewisse vorbereitende oder darauf hinführende Übungen
alleine schaffen.
Deshalb möchte ich jetzt auch mal zurückfragen: in
welchem Zusammenhang musst du diesen Beweis
führen ? Welche Grundlagen stehen zur Verfügung ?
LG , Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Di 04.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie: Für alle n [mm]\in[/mm] N gilt: 3 > (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n \ge[/mm] 2.
Al hat ja schon was dazu gesagt, vielleicht noch ein Hinweis:
Monotonie kannst Du hier mit "geeigneter Quotientenbetrachtung" beweisen,
und dabei wird auch Bernoulli eine Rolle spielen.
Ob Du da von alleine drauf kommst, weiß ich nicht, ich kann Dir aber durchaus
ein Skript verlinken, wo Du die Rechnung dann wenigstens selber drin suchen
solltest und auch versuchen solltest, die Vorgehensweise nachzuvollziehen.
Auch die Abschätzung
[mm] $(1+1/n)^n [/mm] < 3$
ist, sofern man nicht schon mit [mm] $e\,$ [/mm] und einem Näherungswert für [mm] $e\,$ [/mm] argumentieren
darf, durchaus trickreich.
Eine mögliche Methode, das einzusehen, ist:
Betrachte
[mm] $(b_n)_{n \in \IN}$
[/mm]
definiert durch
[mm] $b_n=(1+1/n)^{n\red{\,+1\,}}\,.$
[/mm]
Begründe
[mm] $a_n \le b_n$ [/mm] für alle [mm] $n\,$ [/mm] (das ist trivial)
und zeige, dass [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] monoton fallend ist.
Insbesondere sieht man dann schlussendlich
[mm] $a_n \le b_n \le b_{n-1} \le [/mm] ... [mm] \le b_2 \le b_1=1,5^3\,.$
[/mm]
Das ist zwar nicht ganz das, was Du haben willst (Du willst "mehr"), aber
mit ein wenig nachdenken siehst Du, wie Du dennoch mit dieser Methode
an das gewünschte Ziel kommst (man sollte halt nicht bis [mm] $b_1$ [/mm] gehen,
sondern ... und die endlich vielen [mm] $a_k$ [/mm] ($k=1,...,n-1$) für die man dann die zu beweisende
Aussage (vielleicht?) noch nicht nachgewiesen hat, könnte man entweder nochmal
separat von Hand ausrechnen, oder man guckt nach, ob sie vielleicht nicht
doch schon erfasst worden sind, wenn man die Monotonie-Eigenschaft von
[mm] $(a_n)$ [/mm] bewiesen hat!)
Gruß,
Marcel
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