Gleichung v. Kreis und Kugel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Di 09.01.2007 | | Autor: | Timo17 |
1) Welche Gleichung hat der Kreis,der durch den Punkt P(-4/4) geht und den Mittelpunkt M(-1/-3) hat?
Wäre das dann die Gleichung: [(-4/4) - (-1/-3)]²= sigma² ?
2)Bestimme die Gleichung der Kugel, auf der die Punkte A und B liegen und die die Strecke AB als Durchmesser hat.
A=(-1/2/7)
B=(3/-2/5)
Durchmesser wäre dann ja B-A=(4/-4/-2)
Dann müsste doch r genau die Hälfte sein,also (2/-2/-1).
Wie komme ich nun auf die Gleichung mit beiden Punkten??
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Hallo Timo!
> 1) Welche Gleichung hat der Kreis,der durch den Punkt
> P(-4/4) geht und den Mittelpunkt M(-1/-3) hat?
>
> Wäre das dann die Gleichung: [(-4/4) - (-1/-3)]²= sigma² ?
>
Nein. Die allgemeine Kreisgleichung lautet: [mm] (x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}=r^{2} [/mm] oder in vektorieller Schreibweise: [mm] \vektor{x-x_{M} \\ y-y_{M}}^{2}=r^{2}
[/mm]
[mm] x_{M} [/mm] und [mm] y_{M} [/mm] stehen hierbei für die Koordinaten des Kreismittelpunktes. Beides ist hier bekannt (-1 ; -3). Was dir noch fehlt ist der Kreisradius. Diesen kann du ermitteln, indem du den Abastand des Punktes P vom Mittelpunkt M bestimmst. Das sollte, denk ich, kein Problem sein.
> 2)Bestimme die Gleichung der Kugel, auf der die Punkte A
> und B liegen und die die Strecke AB als Durchmesser hat.
> A=(-1/2/7)
> B=(3/-2/5)
>
> Durchmesser wäre dann ja B-A=(4/-4/-2)
Das ist der Vektor der den Durchmesser darstellt. Sein Betrag gibt dir den Durchmesser in Längeneinheiten an.
> Dann müsste doch r genau die Hälfte sein,also (2/-2/-1).
Das ist der Vektor der den Radius darstellt. Sein Betrag entspricht dem gesuchten Wert für den Radius der Kugel.
> Wie komme ich nun auf die Gleichung mit beiden Punkten??
Die allgemeine Kugelgleichung lautet: [mm] \vektor{x-x_{M} \\ y-y_{M} \\ z-z_{M}}^{2}=r^{2}. [/mm] Es gilt also den Mittelpunkt und den Radius zu ermitteln und dann in die Gleichung einzusetzen. Der Mittelpunkt muss, da die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] den Durchmesser darstellt, auf der Hälfte der Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] liegen.
Hoffe das hilft dir weiter.
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Di 09.01.2007 | | Autor: | Timo17 |
Zu 1)
$ [mm] (x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}=r^{2} [/mm] $
Das wäre dann ja:
(-4+1)²+(4+3)²=r² und demzufolge 9+49=r² und dann 58=r²
Wie berchne in den Abstand von Zwei Punkten??? :-( Also von P zu M?
zu 2)
Dann müsste doch r genau die Hälfte sein,also (2/-2/-1).
Damit ist der Radius 3LE.
Den Radius habe ich ja nun ermittelt.Aber wie komme ich auf den Mittelpunkt? :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Di 09.01.2007 | | Autor: | Pure |
Hi Timo,
also ich kann dir nur den Abstand von 2 Punkten erklären, deshalb markiere ich jetzt mal deine Frage nicht mit "gelöst".
Ich mache das jetzt mal mit einem Zahlenbeispiel. Sagen wir, der Punkt p hat die Koordinaten (1/2/4) und M (3/5/2).
[mm] |\overrightarrow{PM}| [/mm] soll berechnet werden.
Dazu berechnen wir zunächst nur [mm] \overrightarrow{PM}:
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PM}=\vec{m}-\vec{p}= \vektor{3-1 \\ 5-2 \\ 2-4}= \vektor{2 \\ 3 \\ -2}
[/mm]
Für die Strecke geht man so vor: Alle eben errechneten Koordinaten von [mm] \overrightarrow{PM} [/mm] unter die Wurzel, und dazu noch quadriert. Das sieht dann so aus:
[mm] \wurzel{2^{2}+3^{2}+2^{2}}=\wurzel{4+9+4}=4,12 [/mm] LE (Längeneinheiten).
Das Minus vor der letzten 2 löst sich ja durch das Quadrieren sowieso auf, deshalb habe ich es in der Wurzel gar nicht erst hingeschrieben.
Ich hoffe mal, das war verständlich, ansonsten... frag einfach. 
Liebe Grüße, Pure
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Di 09.01.2007 | | Autor: | Timo17 |
Bei meinem Beispiel in AUfgabe 1 wäre das dann ja auch m-p und da würde dann (3/-7) als Kreisradius herauskommen.Aber wie sieht nun die Gleichung aus???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Di 09.01.2007 | | Autor: | Pure |
Hallo Timo,
die Lösung zu deinem Problem sieht so aus:
[mm] \overrightarrow{PM}=\vektor{3 \\ -7}
[/mm]
Daraus kann man dann die Länge wieder mit der Wurzel berechnen:
[mm] |\overrightarrow{PM}|=\wurzel{3^{2}+7^{2}}=\wurzel{58}\approx [/mm] 7,6 LE.
Der Abstand von P zu M beträgt also 7,6 Längeneinheiten.
Alles klar diesmal?
Pure
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Hallo Timo17,
> Zu 1)
>
> [mm](x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}=r^{2}[/mm]
>
> Das wäre dann ja:
>
> (-4+1)²+(4+3)²=r² und demzufolge 9+49=r² und dann 58=r²
>
> Wie berchne in den Abstand von Zwei Punkten??? :-( Also von
> P zu M?
>
Du hast ihn soeben berechnet! 
Seien [mm] P(p_1|p_2) [/mm] und [mm] Q(q_1|q_2) [/mm] zwei Punkte, dann gilt für ihren Abstand [mm] d=\wurzel{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2} [/mm] .
Du kennst also den Radius durch [mm] r^2=58 [/mm] bereits und brauchst nur noch die Kreisgleichung hinzuschreiben:
[mm](x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}=58[/mm]
Manchmal ist es ganz einfach...
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Di 09.01.2007 | | Autor: | Timo17 |
zu 1)
Ist das denn schon die komplette Gleichung,die in der Aufgabe gefordert wird oder muss ich die anders aufschreiben(z.B. mit eingesetzten werten)?
zu 2)und wie sieht das bei Aufgabe 2 aus?
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zu 1.)
Die Kreisgleichung lautet vollständig:
[mm] (x+1)^{2}+(y+3)^{2}=58 [/mm] bzw. [mm] \vektor{ x+1 \\ y+3}^{2}=58
[/mm]
zu 2.)
Der Radius von 3LE ist richtig. Der Vektor [mm] \overrightarrow{AB}=(4/-4/-2) [/mm] stellt den Radius, beginnend bei Punkt A mit Richtung zum Punkt B, dar. Diesen Vektor musst du also nur noch mit seiner halben Länge an den Punkt A "anlegen" um die Koordinaten des Mittelpunktes zu erhalten. Es gilt also:
[mm] M=A+\bruch{1}{2}\overrightarrow{AB}
[/mm]
[mm] M=\vektor{-1 \\ 2 \\ 7}+\bruch{1}{2}[\vektor{3 \\ -2 \\ 5}-\vektor{-1 \\ 2 \\ 7}]=\vektor{-1 \\ 2 \\ 7}+\bruch{1}{2}\vektor{4 \\ -4 \\ -2}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 7}+\vektor{2 \\ -2 \\ -1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
Der Mittlepunkt der Kugel liegt also bei M(1; 0; 6).
Somit ergibt sich für die Kugelgleichung folgendes:
[mm] (x-1)^{2}+(y-0)^{2}+(z-6)^{2}=9 [/mm] bzw. [mm] \vektor{x-1 \\ y-0 \\ z-6}^{2}=9
[/mm]
Gruß,
Tommy
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