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Forum "Determinanten" - Gleichung ohne Laplace lösen
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Gleichung ohne Laplace lösen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Mo 25.11.2013
Autor: dodo1924

Aufgabe
Zeige die Gültigkeit folgender Gleichung ohne Verwendung der Laplace-Entwicklung:
det [mm] \pmat{ 1 & a & b+c \\ 1 & b & a+c \\ 1 & c & a+b } [/mm] = 0

Hi!

Ich hätte hier folgenden Ansatz:
es gilt ja det(A) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] A ist invertierbar!

Nun würde ich mit Kontrapositionen zeigen, dass die det(A) = 0 ist weil A nicht invertierbar ist!

Hier wollte ich fragen, ob der Ansatz stimmt, bzw ob es ausreicht, die Matrix in die Zeilenstufenform zu bringen??

        
Bezug
Gleichung ohne Laplace lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Mo 25.11.2013
Autor: MathePower

Hallo dodo1924,

> Zeige die Gültigkeit folgender Gleichung ohne Verwendung
> der Laplace-Entwicklung:
>  det [mm]\pmat{ 1 & a & b+c \\ 1 & b & a+c \\ 1 & c & a+b }[/mm] =
> 0
>  Hi!
>  
> Ich hätte hier folgenden Ansatz:
>  es gilt ja det(A) [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] A ist invertierbar!
>  
> Nun würde ich mit Kontrapositionen zeigen, dass die det(A)
> = 0 ist weil A nicht invertierbar ist!
>  
> Hier wollte ich fragen, ob der Ansatz stimmt, bzw ob es
> ausreicht, die Matrix in die Zeilenstufenform zu bringen??


Ja, das reicht aus.

Meines Erachtens reicht schon der erste Schritt zur ZSF.


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Gleichung ohne Laplace lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Di 26.11.2013
Autor: fred97

Ich nenne Deine Matrix mal A.

Rechne nach, dass das LGS [mm] A*\vec{x}=\vec{0} [/mm] die nichttriviale Lösung

   [mm] \vec{x}=\vektor{-(a+b+c) \\ 1 \\ 1} [/mm]

hat.

FRED

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Bezug
Gleichung ohne Laplace lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Di 26.11.2013
Autor: dodo1924

Hi Fred!

Wie kommst du auf [mm] \vec{x}? [/mm]
Hast du das irgendwie ausgerechnet??

lg

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Gleichung ohne Laplace lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Di 26.11.2013
Autor: fred97


> Hi Fred!
>  
> Wie kommst du auf [mm]\vec{x}?[/mm]
>  Hast du das irgendwie ausgerechnet??

Nein, das hat mir heute morgen unser Zeitungsausträger geflüstert ...

Spaß beiseite. Das sieht man (ziemlich) schnell, wenn man sich um die Lösungen des LGS  $ [mm] A\cdot{}\vec{x}=\vec{0} [/mm] $  bemüht.

FRED

>  
> lg


Bezug
        
Bezug
Gleichung ohne Laplace lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Di 26.11.2013
Autor: ullim

Hi,

Du kannst die Matrix auch auf Zeilenstufen bringen und dann feststellen das der Rang der Matrix 2 ist und somit nicht invertierbar ist.

Bezug
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