Gleichung mit arctan < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mo 24.01.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
ich soll zeigen, dass folgende Gleichung gilt
[mm]\frac{\pi}{4}=4\cdot\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}[/mm].
Ich dachte mir, dass ich auf beiden Seiten arctan(tan(...)) anwende, also
[mm]\arctan(\tan(\frac{\pi}{4}))=\ldots[/mm]
und dann mittels Additionstheorem
[mm]\tan(x-y)=\frac{\tan x + \tan y}{1-\tan x \cdot \tan y}[/mm]
die Vorkommen von arctan eliminiere. Leider macht mir da die Multiplikation von [mm]\arctan\frac{1}{5}[/mm] mit 4 einen Strich durch die Rechnung. Wie kann ich das geschickt umschreiben, damit ich obiges Additionstheorem anwenden kann? Ich habe probiert
[mm]4\cdot\arctan\frac{1}{5}[/mm]
als
[mm]\underbrace{\arctan\frac{1}{5} + \ldots + \arctan\frac{1}{5}}_{4 mal}[/mm]
zu schreiben und dann das Additionstheorem wiederholt anzuwenden. Aber das ergibt eine riesen Rechnung und ich bezweifle, dass das der richtige Weg ist.
Oder gibt es vielleicht einen ganz anderen, besseren Ansatz?
Danke, Michael
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Hallo,
wie es aussieht, mußt Du da dieses Additionstheorem mehrfach anwenden:
[mm]\arctan (x_{1} )\; + \;\arctan (x_{2} )\; = \;\arctan \left( {\frac{{x_{1} \; + \;x_{2} }} {{1\; - \;x_{1} \;x_{2} }}} \right)[/mm]
Dann kannst Du ja gleich dieses Additionstheorem verwenden, anstatt erst mit dem Tangens zu hantieren.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Michael
auch wenn mathepower bereits den entscheidendet Tip gegeben hat, will ich noch etwas detaillierter darauf eingehen.
> [mm]\frac{\pi}{4}=4\cdot\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}[/mm].
>
> Ich dachte mir, dass ich auf beiden Seiten arctan(tan(...))
> anwende, also
>
> [mm]\arctan(\tan(\frac{\pi}{4}))=\ldots[/mm]
>
> und dann mittels Additionstheorem
>
> [mm]\tan(x-y)=\frac{\tan x + \tan y}{1-\tan x \cdot \tan y}[/mm]
>
>
Na ja, da sollte links wohl ein Plus stehen.
Ja, die Idee ist die Richtige!
Das Additionstheorem lautet ja (korrigiert):
[mm] $\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x * \tan y}$
[/mm]
Auf beiden Seiten, wie du es vorgeschlagen hast, den Arcustangens nehmen:
[mm] $x+y=\arctan\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x * \tan y}$
[/mm]
Die Substitution
[mm] $x:=\arctan [/mm] u$
[mm] $y:=\arctan [/mm] v$
führt zum Tip von mathepower:
[mm] $\arctan [/mm] u + [mm] \arctan v=\arctan\frac{u+v}{1-u*v}$
[/mm]
Nun gilt aber auch:
[mm] $\frac{\pi}{4}=\arctan(1)$
[/mm]
Die Aufgabe besteht jetzt nur noch nachzuweisen, dass mit den angegebenen Werten der Ausdruck [mm] $\frac{u+v}{1-u*v}$ [/mm] den Wert 1 ergibt.
Also, wie du ganz korrekt angesetzt hast:
[mm] $\arctan\frac{1}{5}+\arctan\frac{1}{5}+\arctan\frac{1}{5}+\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}$
[/mm]
Berechne einfach mal [mm] $\arctan\frac{1}{5}+\arctan\frac{1}{5}$ [/mm] gemäss obiger Formel.
Ich erhalte:
[mm] $\arctan\frac{1}{5}+\arctan\frac{1}{5}=\arctan\frac{5}{12}$
[/mm]
Das brauchst du jetzt einfach noch mit dem Rest zu machen. 
Ach ja: [mm] $-\arctan\frac{1}{239}=\arctan-\frac{1}{239}$
[/mm]
Diese Formel eignet sich übrigens hervorragend, um im Dezimalsystem [mm] $\pi$ [/mm] zu berechnen, weil die Potenzreihe für den Arcustangens mit dem Argument [mm] $\bruch{1}{5}$ [/mm] Werte liefert, die gut ins Dezimalsystem passen. Krumm wird dann nur noch die Berechnung mit [mm] $\bruch{1}{239}$, [/mm] aber die konvergiert hervorragend!
Vega hat übrigens die Zahl [mm] $\pi$ [/mm] seinerzeit mit der Formel
[mm] $\bruch{\pi}{4}=2*\arctan\bruch{1}{3}+\arctan\bruch{1}{7}$
[/mm]
auf 140 Stellen genau berechnet. Eine reife Leistung!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Michael
> > Nun gilt aber auch:
> >
> > [mm]\frac{\pi}{4}=\arctan(1)[/mm]
>
> Wieso gilt das? Hast Du das aus den vorherigen Umformungen
> gefolgert oder weisst du das, weil das "einfach so ist"?
>
Nun, es gilt ja: [mm] $\tan{\bruch{\pi}{4}}=1$ [/mm] Ist das nicht elementar-geometrisch klar?
[mm] $\pi$ [/mm] kann ja als halber Kreisumfang des Einheitskreises definiert werden. Somit ist [mm] $\bruch{\pi}{4}$ [/mm] ein Viertel davon, in Gradmass wohl 45°. Und weil damit ja Ankathete = Gegenkathete ist...
>
> Also im Prinzip koennte ich auch den Weg gehen, den ich in
> meinem ersten Beitrag beschrieben habe, nur dass die
> Gleichung dann um einiges groesser wird?
>
Könnte sein. Da wir aber schon einen guten Lösungsweg haben, will ich das nicht mehr nachprüfen. Das kannst du ja in deiner Freizeit einmal versuchen. 
>
> OK, werde ich mal ausrechnen...
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Mach das!
>
>
> Die andere Formel scheint wohl von
> ![[]](/images/popup.gif) John Machin zu
> stammen. Ebenfalls nicht schlecht.
>
Danke für den Link!
Ja, ich denke, für das Dezimalsystem sogar besser. Aber auf die Zahlen muss man halt schon zuerst einmal kommen! [mm] $\bruch{\pi}{4}$ [/mm] liegt ja recht nahe bei [mm] $\bruch{4}{5}$, [/mm] und [mm] $\tan{\bruch{1}{5}}$ [/mm] liegt nahe bei [mm] $\bruch{1}{5}$. [/mm] Da kommt man schon auf die Idee, als Näherung [mm] $4*\arctan{\bruch{1}{5}}$ [/mm] zu nehmen und den Fehler noch zu berechnen.
Mit lieben Grüssen
Paul
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