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Gleichung mit Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Mi 23.05.2012
Autor: Chron

Aufgabe
Seien [mm] X_1,...X_n [/mm] unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit [mm] X_i [/mm] >0 für jedes i. Beweisen Sie folgende Gleichung: [mm] E(\frac{X_i}{\summe_{j=1}^{n} X_j}) [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm]

Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht vorwärts, mir fehlt die Idee. Kann mir jemand ein wenig helfen?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gleichung mit Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Mi 23.05.2012
Autor: Diophant

Hallo Chron und

[willkommenmr]

Da müsste sich doch etwas aus der identischen Verteilung, der Unabhängigkeit sowie der Linearität des Erwartungswertes machen lassen. Insbesondere ist ja

[mm]E\left(\summe_{i=1}^{n} X_i\right)=\summe_{i=1}^{n} E(X_i)[/mm]

Damit solltest du eigentlich weiterkommen.


Gruß, Diophant


Bezug
                
Bezug
Gleichung mit Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Mi 23.05.2012
Autor: Chron

Vielen Dank Diophant für deine Antwort. Wenn die Zufallsvariablen unabhängig sind, dann folgt ja, dass [mm] E(X_1 \dots X_n) [/mm] = [mm] E(X_1)\dots E(X_n). [/mm] Da sie identisch verteilt sind, gilt weiter [mm] E(X_1) [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] E(X_n), [/mm] oder?
Doch wie kann ich das, plus die Linearität hier anwenden?
[mm] E\left(\frac{X_i}{\summe_{j=1}^{n}X_j}\right) [/mm] = [mm] \frac{E(X_i)}{n \cdot E(X_i)}= \frac{1}{n} [/mm] wäre doch zu einfach...

Bezug
                        
Bezug
Gleichung mit Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:17 Mi 23.05.2012
Autor: Chron

Hmm gibt es wirklich niemanden, der mir helfen könnte? Bestimmt ist es ganz einfach, aber ich sehe es einfach nicht.

Bezug
                        
Bezug
Gleichung mit Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:55 Do 24.05.2012
Autor: donquijote


> Vielen Dank Diophant für deine Antwort. Wenn die
> Zufallsvariablen unabhängig sind, dann folgt ja, dass
> [mm]E(X_1 \dots X_n)[/mm] = [mm]E(X_1)\dots E(X_n).[/mm] Da sie identisch
> verteilt sind, gilt weiter [mm]E(X_1)[/mm] = [mm]\dots[/mm] = [mm]E(X_n),[/mm] oder?

ja

>  Doch wie kann ich das, plus die Linearität hier anwenden?
> [mm]E\left(\frac{X_i}{\summe_{j=1}^{n}X_j}\right)[/mm] =
> [mm]\frac{E(X_i)}{n \cdot E(X_i)}= \frac{1}{n}[/mm] wäre doch zu
> einfach...

Das funktioniert so nicht, da die Summe im Nenner steht.
Zur Lösung kannst du die Linearität des Erwartungswertes für [mm] Y_i=\frac{X_i}{\summe_{j=1}^{n}X_j} [/mm] und [mm] Y=\sum Y_i [/mm] ausnutzen.

Bezug
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