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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mo 22.12.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | [mm] 280000=18000*\bruch{1}{1+i}*\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1-\bruch{1}{1+i}}
[/mm]
Berechne den Wert für i. |
Hi,
ja, vorneweg sei gesagt, dass das Teil einer Klausuraufgabe war. Mit Computerprogrammen umstellen, hilft mir nichts 
Soweit bin ich gekommen:
[mm] 280000=18000*\bruch{1}{1+i}*\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1-\bruch{1}{1+i}}
[/mm]
[mm] \gdw 15\bruch{5}{9}=\bruch{1}{1+i}*\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1-\bruch{1}{1+i}}
[/mm]
[mm] \gdw 15\bruch{5}{9}*(1+i)=\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1-\bruch{1}{1+i}}
[/mm]
[mm] \gdw 15\bruch{5}{9}*(1+i)=\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{\bruch{1+i}{1+i}-\bruch{1}{1+i}}
[/mm]
[mm] \gdw 15\bruch{5}{9}*(1+i)=\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{\bruch{i}{1+i}}
[/mm]
[mm] \gdw 15\bruch{5}{9}*(1+i)*\bruch{i}{1+i}=1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}
[/mm]
[mm] \gdw 15\bruch{5}{9}*i=1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}
[/mm]
Habt ihr vielleicht eine Idee, wie ich jetzt weiter nach i umstellen kann? Oder habe ich bisher schon Fehler gemacht?
MfG barsch
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Mo 22.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Umformungen bis jetzt sind okay, es wäre aber einfacher gegangen:
[mm] 280.000=18.000\cdot{}\bruch{1}{1+i}\cdot{}\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1-\bruch{1}{1+i}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{280.000}{18.000}=\bruch{\red{1}}{\green{1+i}}\cdot{}\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1-\bruch{1}{1+i}}
[/mm]
Jetzt rechts mal due Brüche zusammenmultiplizieren und links kürzen:
[mm] \gdw \bruch{280}{18}=\bruch{\red{1}*\left(1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}\right)}{\green{(1+i)}*\left(1-\bruch{1}{1+i}\right)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{140}{9}=\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{(1+i)*1-\bruch{1+i}{1+i}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{140}{9}=\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1+i-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{140}{9}=\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{i}
[/mm]
Wie du dabei jetzt auf das i kommst, weiss ich aber auch gerade nicht.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Di 23.12.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo barsch,
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> [mm]280000=18000*\bruch{1}{1+i}*\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1-\bruch{1}{1+i}}[/mm]
>
> Berechne den Wert für i.
>
> ja, vorneweg sei gesagt, dass das Teil einer Klausuraufgabe
> war. Mit Computerprogrammen umstellen, hilft mir nichts
>
> Soweit bin ich gekommen:
>
> [mm]280000=18000*\bruch{1}{1+i}*\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1-\bruch{1}{1+i}}[/mm]
>
> [mm]\gdw 15\bruch{5}{9}=\bruch{1}{1+i}*\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1-\bruch{1}{1+i}}[/mm]
>
> [mm]\gdw 15\bruch{5}{9}*(1+i)=\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1-\bruch{1}{1+i}}[/mm]
>
> [mm]\gdw 15\bruch{5}{9}*(1+i)=\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{\bruch{1+i}{1+i}-\bruch{1}{1+i}}[/mm]
>
> [mm]\gdw 15\bruch{5}{9}*(1+i)=\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{\bruch{i}{1+i}}[/mm]
>
> [mm]\gdw 15\bruch{5}{9}*(1+i)*\bruch{i}{1+i}=1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}[/mm]
>
> [mm]\gdw 15\bruch{5}{9}*i=1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}[/mm]
>
> Habt ihr vielleicht eine Idee, wie ich jetzt weiter nach i
> umstellen kann? Oder habe ich bisher schon Fehler gemacht?
>
"Wie heißt es so schön?! - Es gibt keine dummen Antworten, nur blöde Fragen (oder so ähnlich  ) "
Hat mir gefallen!
Nur: Blöde Fragen gibt es auch nicht!
Weder die Endwertgleichung noch die Barwertgleichung lassen sich allgemein nach i auflösen. Will man den Zinssatz bei gegebenem End- oder Barwert ermitteln, so muss man daher zu einem geeigneten Verfahren der näherungsweisen Nullstellenbestimmung greifen.
Ich würde die folgende Aufgabe wie folgt lösen:
> [mm]280000=18000*\bruch{1}{1+i}*\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1-\bruch{1}{1+i}}[/mm]
[mm] \bruch{280.000}{18.000} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1+i)}*\bruch{\bruch{(1+i)^{25}}{(1+i)^{25}} -1}{\bruch{(1+i)}{(1+i)} -1}
[/mm]
[mm] \bruch{280}{18} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1+i)}*\bruch{[(1+i)^{25}-1]*(1+i)}{(1+i)^{25} * [(1+i)-1]}
[/mm]
[mm] \bruch{140}{9} [/mm] = [mm] \bruch{(1+i)^{25}-1}{(1+i)^{25}*(i)}
[/mm]
15,55556 = [mm] \bruch{(1+i)^{25}-1}{(1+i)^{25}*i}
[/mm]
= nachschüssige Rentenbarwertfaktoren
Durch Verwendung von Tabellen und lineare Interpolation vereinfacht sich die näherungsweise Berechnung des Zinsfusses p bei jährlicher Rentenrechnung erheblich.
p = 4,0435414...
i = 0,040435414...
Auch durch Schätzen und Probieren kann man gute Ergebnisse erzielen.
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Di 23.12.2008 | | Autor: | barsch |
Hallo Josef,
> Nur: Blöde Fragen gibt es auch nicht!
dem kann ich nicht widersprechen
> Weder die Endwertgleichung noch die Barwertgleichung lassen
> sich allgemein nach i auflösen. Will man den Zinssatz bei
> gegebenem End- oder Barwert ermitteln, so muss man daher zu
> einem geeigneten Verfahren der näherungsweisen
> Nullstellenbestimmung greifen.
>
>
> Ich würde die folgende Aufgabe wie folgt lösen:
>
> >
> [mm]280000=18000*\bruch{1}{1+i}*\bruch{1-\bruch{1}{(1+i)^{25}}}{1-\bruch{1}{1+i}}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{280.000}{18.000}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1+i)}*\bruch{\bruch{(1+i)^{25}}{(1+i)^{25}} -1}{\bruch{(1+i)}{(1+i)} -1}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{280}{18}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1+i)}*\bruch{[(1+i)^{25}-1]*(1+i)}{(1+i)^{25} * [(1+i)-1]}[/mm]
>
> [mm]\bruch{140}{9}[/mm] = [mm]\bruch{(1+i)^{25}-1}{(1+i)^{25}*(i)}[/mm]
>
>
> 15,55556 = [mm]\bruch{(1+i)^{25}-1}{(1+i)^{25}*i}[/mm]
>
>
> = nachschüssige Rentenbarwertfaktoren
>
> Durch Verwendung von Tabellen und lineare Interpolation
> vereinfacht sich die näherungsweise Berechnung des
> Zinsfusses p bei jährlicher Rentenrechnung erheblich.
> p = 4,0435414...
>
> i = 0,040435414...
>
>
> Auch durch Schätzen und Probieren kann man gute Ergebnisse
> erzielen.
Ich war der festen Überzeugung, die Gleichung lasse sich nach i umstellen. Schade.
Danke für die Antwort und ein frohes Weihnachtsfest.
MfG barsch
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> Ich war der festen Überzeugung, die Gleichung lasse sich
> nach i umstellen. Schade.
>
> Danke für die Antwort und ein frohes Weihnachtsfest.
hallo barsch,
mit der Substitution [mm] s=\bruch{1}{1+i} [/mm] kommt man auf
die Polynomgleichung sechsundzwanzigsten Grades:
$\ [mm] 9*s^{26}-149*s+140=0$
[/mm]
Nach Mathematica hat diese Gleichung nebst 24 echt
komplexen die beiden reellen Lösungen
$\ [mm] s_1=1$ [/mm] und $\ [mm] s_2=0.961165...$
[/mm]
Letztere Lösung führt dann auf den Wert [mm] i\approx0.0404042
[/mm]
ebenfalls schöne Feiertage !
Al-Chw.
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Eine Substitution gleich zu Beginn wie z.B.
$\ 1+i=r$ oder [mm] $\bruch{1}{1+i}=s$
[/mm]
würde den Umgang mit der Gleichung ganz erheblich
erleichtern !
Gruß Al-Chw.>
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