Gleichung lösbar? < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Do 16.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Heyho
es geht um folgende Aussage:
Ich soll entscheiden, ob die Gleichung [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 1)*e^{x}+x^2*e^{-2x}+sin(x)=-1 [/mm] (da die Funktion eine Komposition stetiger Funktionen ist, gehe ich davon aus das sie ebenfalls stetig ist)
ich würde das mit dem Zwischenwertsatz beweisen und zuerst eine Funktion h(x) aufstellen mit [mm] h(x)=(x^2 [/mm] - [mm] 1)*e^{x}+x^2*e^{-2x}+sin(x)+1
[/mm]
dann würde ich mir selbst ein Intervall ausdenken, da kein Intervall angegeben ist also I=[-1,1] und würde dann ein [mm] x_0 \in [/mm] I suchen mit [mm] h(x_0)=0
[/mm]
nun würde ich die beiden Intervallgrenzen 1 und -1 in die Funktion h(x) einsetzen:
1: h(-1)=8,3716 >0
2: h(1)= 1,15 >0
jetzt habe ich aber das Problem das 2 Positive werte herauskommen.somit kann ich ja nicht beweisen das [mm] x_{0} [/mm] dazwischen liegt
Was kann ich tuen?
LG
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Hallo,
> Heyho
> es geht um folgende Aussage:
> Ich soll entscheiden, ob die Gleichung [mm](x^2[/mm] -
> [mm]1)*e^{x}+x^2*e^{-2x}+sin(x)=-1[/mm] (da die Funktion eine
> Komposition stetiger Funktionen ist, gehe ich davon aus das
> sie ebenfalls stetig ist)
> ich würde das mit dem Zwischenwertsatz beweisen und
> zuerst eine Funktion h(x) aufstellen mit [mm]h(x)=(x^2[/mm] -
> [mm]1)*e^{x}+x^2*e^{-2x}+sin(x)+1[/mm]
> dann würde ich mir selbst ein Intervall ausdenken, da
> kein Intervall angegeben ist also I=[-1,1] und würde dann
> ein [mm]x_0 \in[/mm] I suchen mit [mm]h(x_0)=0[/mm]
> nun würde ich die beiden Intervallgrenzen 1 und -1 in die
> Funktion h(x) einsetzen:
> 1: h(-1)=8,3716 >0
> 2: h(1)= 1,15 >0
> jetzt habe ich aber das Problem das 2 Positive werte
> herauskommen.somit kann ich ja nicht beweisen das [mm]x_{0}[/mm]
> dazwischen liegt
>
> Was kann ich tuen?
Du hast also definiert:
[mm] $h(x)=(x^2-1)*e^{x}+x^2*e^{-2x}+sin(x)+1$
[/mm]
Was ist denn $h(0)$ ?
>
> LG
Gruß helicopter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Do 16.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Heyho
> es geht um folgende Aussage:
> Ich soll entscheiden, ob die Gleichung [mm](x^2[/mm] -
> [mm]1)*e^{x}+x^2*e^{-2x}+sin(x)=-1[/mm]
Was sollst du nun entscheiden?
> (da die Funktion eine
> Komposition stetiger Funktionen ist, gehe ich davon aus das
> sie ebenfalls stetig ist)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ich würde das mit dem Zwischenwertsatz beweisen und
> zuerst eine Funktion h(x) aufstellen mit [mm]h(x)=(x^2[/mm] -
> [mm]1)*e^{x}+x^2*e^{-2x}+sin(x)+1[/mm]
Deine Idee ist gut, aber du kannst hier den Zwischenwertsatz nicht benutzen, denn es gilt:
[mm] h(x)\ge0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
$h(x)>0$ für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] x\not=0
[/mm]
> dann würde ich mir selbst ein Intervall ausdenken, da
> kein Intervall angegeben ist also I=[-1,1] und würde dann
> ein [mm]x_0 \in[/mm] I suchen mit [mm]h(x_0)=0[/mm]
> nun würde ich die beiden Intervallgrenzen 1 und -1 in die
> Funktion h(x) einsetzen:
> 1: h(-1)=8,3716 >0
> 2: h(1)= 1,15 >0
> jetzt habe ich aber das Problem das 2 Positive werte
> herauskommen.somit kann ich ja nicht beweisen das [mm]x_{0}[/mm]
> dazwischen liegt
Sollst du vielleicht beweisen, dass deine Funktion genau eine Nullstelle hat?
>
> Was kann ich tuen?
>
> LG
DieAcht
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Hallo Alex,
jetzt, wo helicopter die Lösung schon verraten hat, ist es ja einfach. 
Trotzdem ist Dein Ansatz erst einmal eine gute Idee, er klappt halt nur bei dieser Funktion nicht.
> Heyho
Horrido! (kurz vor Weihnachten auch: Hohohoo!)
> es geht um folgende Aussage:
> Ich soll entscheiden, ob die Gleichung [mm](x^2[/mm] -
> [mm]1)*e^{x}+x^2*e^{-2x}+sin(x)=-1[/mm] (da die Funktion eine
> Komposition stetiger Funktionen ist, gehe ich davon aus das
> sie ebenfalls stetig ist)
Danach siehts aus.
> ich würde das mit dem Zwischenwertsatz beweisen
Wie gesagt, eigentlich eine gute Idee.
> und
> zuerst eine Funktion h(x) aufstellen mit [mm]h(x)=(x^2[/mm] -
> [mm]1)*e^{x}+x^2*e^{-2x}+sin(x)+1[/mm]
> dann würde ich mir selbst ein Intervall ausdenken,
Auch gut. Nur muss das Intervall ja eine wesentliche Bedingung erfüllen...
> da
> kein Intervall angegeben ist also I=[-1,1] und würde dann
> ein [mm]x_0 \in[/mm] I suchen mit [mm]h(x_0)=0[/mm]
> nun würde ich die beiden Intervallgrenzen 1 und -1 in die
> Funktion h(x) einsetzen:
> 1: h(-1)=8,3716 >0
> 2: h(1)= 1,15 >0
> jetzt habe ich aber das Problem das 2 Positive werte
> herauskommen.
Tja, da ist sie schon, die Bedingung.
> somit kann ich ja nicht beweisen das [mm]x_{0}[/mm]
> dazwischen liegt
>
> Was kann ich tuen?
Nebenbemerkung: ich erinnere mich an eine Rechtschreibdiskussion, die ich etwa in der 2. Klasse mit meinen Eltern geführt habe. Wir konnten uns nicht einigen, ob es tun, tuen oder tuhen heißt. Inzwischen hatte ich etwas Zeit, es nachzuschlagen: tun.
Was Du hier also nicht nur tun kannst, sondern sogar musst, wenn Dein Ansatz funktionieren soll, ist ein anderes Intervall zu suchen. Warum auch sollte ein willkürlich gewähltes Intervall direkt die nötige Bedingung erfüllen?
Das Problem ist nur, dass Deine Funktion keine negativen Werte annimmt, wenn ich es recht sehe. Nur deswegen klappt Dein Ansatz nicht.
Die Frage ist ja nun, was man eigentlich tut, wenn man nicht gerade "sieht", dass die Funktion bei $x=0$ eine Nullstelle hat? Wenn überhaupt, dann können weitere Nullstellen nur sozusagen direkt daneben liegen, mit x<0.
Da fällt mir gerade auch nicht viel mehr ein als eine Extremwertbestimmung, und die ist auch nicht gerade einfach. Ich denk nochmal drüber nach.
Vielleicht eine Reihenentwicklung?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Do 16.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo reverend,
Selbst Wolfram|Alpha hat damit seine Probleme.
Ich frage mich gerade ob das eigentliche Programm,
also Matematica, bessere Resultate liefert als der
kostenlose "online Taschenrechner".
Eventuell soll Threadersteller zeigen, dass es nur eine Nullstelle gibt.
Im Grunde müsste er dann zeigen, dass folgendes gilt:
$h(x)>0$ für alle [mm] x\not=0
[/mm]
Wenn ich mich nicht irre, dann kann man dann auch
mit dem Monotonie- oder Grenzwertverhalten zeigen.
Schönen Abend noch, DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
hey
erstmal danke für eure Hilfe. Ich soll einfach nur beweisen das die Gleichung lösbar ist. Reicht es an dieser Stelle wirklich für h(x) x=0 zu setzen? oder muss ich an dieser Stelle noch mehr beweisen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Fr 17.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> hey
> erstmal danke für eure Hilfe. Ich soll einfach nur
> beweisen das die Gleichung lösbar ist. Reicht es an dieser
> Stelle wirklich für h(x) x=0 zu setzen? oder muss ich an
> dieser Stelle noch mehr beweisen?
Ja, das reicht aus. Eine kleine Begründung, wie du darauf gekommen bist, wäre natürlich nicht schlecht.
>
> LG
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
mit Begründung meinst du wahrscheinlich, dass der erste Faktor und der letzte Summand sich gegenseitig aufheben oder?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Sa 18.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Hey
> mit Begründung meinst du wahrscheinlich, dass der erste
> Faktor und der letzte Summand sich gegenseitig aufheben
> oder?
Wenn du damit die Summanden in $ [mm] h(x)=(x^2-1)\cdot{}e^{x}+x^2\cdot{}e^{-2x}+sin(x)+1 [/mm] $ meinst, ja.
Du solltest aber auch noch dazuschreiben, dass die beiden anderen Summanden für x=0 zu Null werden.
>
> Lg
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
genau das meinte ich vielen Dank für eure Hilfe
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