Gleichung in Körpern? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | | Gibt es einen Körper K, in dem für alle a,b, [mm] \in [/mm] K gilt: wenn a+b=1, dann a=1 oder b=1? Begründen Sie ihre Antwort! |
Hallo!
Ich habe versucht die Aufgabe mit den Körperaximonen A1-A9 zu lösen.
Also ich habe angenommen, dass a ungleich 1 ist, dann müsste ja b=1 sein, wenn die Gleichung gilt.
1 = a [mm] \cdot a^{-1}=(a+b+(-b)) \cdot a^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1} \cdot (a+b)+a^{-1}(-b)=a^{-1}1+a^{-1}(-b)=a^{-1}(1+(-b))
[/mm]
Wenn jetzt b=1 wäre, hätten wir 1=0, also einen Widerspruch.
D.h. es könnte aber auch a=0 sein, denn dann gilt die erste Umformung nicht. Die Gleichung könnte also in einem Körper gelten, aber nur für a=0 und b=1 bzw. a=1 und b=0, oder?
Das heißt es reicht aber nicht, wenn a oder b=1 ist.
Welche Antwort wollen die nun hören?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Sa 19.04.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Wimme,
> Ich habe versucht die Aufgabe mit den Körperaximonen A1-A9
> zu lösen.
>
> Also ich habe angenommen, dass a ungleich 1 ist, dann
> müsste ja b=1 sein, wenn die Gleichung gilt.
>
> 1 = a [mm]\cdot a^{-1}=(a+b+(-b)) \cdot a^{-1}[/mm] = [mm]a^{-1} \cdot (a+b)+a^{-1}(-b)=a^{-1}1+a^{-1}(-b)=a^{-1}(1+(-b))[/mm]
>
> Wenn jetzt b=1 wäre, hätten wir 1=0, also einen
> Widerspruch.
>
> D.h. es könnte aber auch a=0 sein, denn dann gilt die erste
> Umformung nicht. Die Gleichung könnte also in einem Körper
> gelten, aber nur für a=0 und b=1 bzw. a=1 und b=0, oder?
> Das heißt es reicht aber nicht, wenn a oder b=1 ist.
Du hast ja angenommen, dass [mm]a \not\in \{0,1\}[/mm] gelte, und daraus korrekt einen Widerspruch hergeleitet. Dabei hast du aber implizit angenommen, dass der Körper mehr Elemente hat als nur diese beiden! Muss dies denn gelten?
Viele Grüsse,
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Wimme |
achso..hmm...stimmt, wenn der Körper nur aus 1 und 0 besteht, dann würde das ganze gelten, oder?
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Hallo Wimme,
> achso..hmm...stimmt, wenn der Körper nur aus 1 und 0
> besteht, dann würde das ganze gelten, oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, das tut's
Gruß
schachuzipus
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