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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)=0.004x³-2x²+50x+600
Gesucht ist eine Tangente der Funkton, die durch den Nullpunkt geht. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich habe schon graphisch ermittelt, das die Tangente die Funktion ungefähr im Punkt x=30 mit einer Steigung von 49.6 berührt.
Aber wie komme ich rechnerisch auf die Gleichung der Tangente?
Ich weiß, dass die Ableitung der Funktion die Steigung der Tangenten ist. Muss ich da Gleichungen gleich setzen, um den Berührpunkt zu ermitteln?
Danke
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Hallo bumblebee!
Sei $B \ [mm] \left( \ b \ | \ f(b) \ \right)$ [/mm] der Berührpunkt der gesuchten Tangente, die durch den Urspung geht.
Diese hat dann als Urspungsgerade die Form: $y \ = \ [mm] m_t*x$
[/mm]
Die Tangentensteigung [mm] $m_t$ [/mm] entspricht nun der Steigung der Funktion an der Stelle $x \ = \ b$ :
[mm] $m_t [/mm] \ = \ f'(b) \ = \ [mm] 0.012*b^2-4*b+50$
[/mm]
Der Funktionswert $y_$ stimmt überein mit dem Funktionswert der Funktion an der Stelle $x \ = \ b$ :
$y \ = \ f(b) \ = \ [mm] 0.004*b^3-2*b^2+50*b+600$
[/mm]
Einsetzen in die Geradengleichung liefert dann folgende Bestimmungsgleichung für $b_$ :
[mm] $0.004*b^3-2*b^2+50*b+600 [/mm] \ = \ [mm] \left(0.012*b^2-4*b+50\right)*b$
[/mm]
Nun also die Gleichung nach $b \ = \ ...$ auflösen und die entsprechende Tangentensteigung [mm] $m_t [/mm] \ = \ f'(b) \ = \ ...$ berechnen.
Gruß vom
Roadrunner
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