Gleichung/Lösung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Mo 24.09.2012 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Besitzt die folgende Gleichung eine Lösung?
[mm] x^{101} [/mm] - [mm] (x+1)^{101} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - 47 = 0 mod 101 |
Hallo zusammen,
ich hätte folgende Aufgab und habe schon etwas vorgearbeitet.
Nach dem Satz von Fermat gilt:
[mm] x^{101} [/mm] = 0 in [mm] \IZ/101\IZ
[/mm]
Ebenso gilt: [mm] -(x+1)^{101} [/mm] = 0 in [mm] \IZ/101\IZ
[/mm]
Element "hoch" Gruppenordnung ist 0.
Also ist die Frage äquivalent dazu, ob
[mm] x^2 [/mm] - 47 = 0 mod 101 eine Lösung besitzt.
Also [mm] x^2 [/mm] + 54 = mod 101.
Es ist [mm] 42^2 [/mm] + 54 = 1818
Und 1818 / 101 = 18.
Also besitzt die Gleichung eine Lösung, nämlich 42.
Ich wollte mal Fragen ob das so richtig ist?
Grüße
Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Schau dir nochmal den kleinen Satz von Fermat an, der geht nämlich etwas anders!
Es kommt aber am Ende etwas ähnlich einfaches raus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mo 24.09.2012 | | Autor: | tinakru |
Ah Dankeschön, der geht dann wahrscheinlich so oder:
[mm] x^{101} [/mm] = 1 in [mm] \IZ/101\IZ
[/mm]
Das müsste dann so passen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, leider auch nicht. :)
Für p prim gilt [mm] $a^p \equiv [/mm] a [mm] \text{ mod } [/mm] p$ bzw. [mm] $a^{p-1} \equiv [/mm] 1 [mm] \text{ mod } [/mm] p$ falls ggT(a,p)=1 . Was heißt das nun für deine Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Mo 24.09.2012 | | Autor: | teo |
Da saßen wir wohl im gleichen Examen:
Mit dem kleinen Fermat folgt [mm] x^2 \equiv [/mm] $48$ mod $101$... [mm] \Rightarrrow [/mm] keine Lösung
LG
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