Gleichung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mo 23.10.2006 | | Autor: | HiitNiit |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{a-2}+\bruch{1}{2x^{2}-ax}=\bruch{x-1}{(2-a)(a-2x)} ;a\not=2 [/mm] |
Aufgabe: Bestimmen Sie den Definitionsbereich D und die Lösungsmenge der Gleichung.
[mm] \bruch{1}{a-2}+\bruch{1}{2x^{2}-ax}=\bruch{x-1}{(2-a)(a-2x)} [/mm] | * [mm] (a-2)(2x^{2}-ax)
[/mm]
[mm] \gdw 2x^{2}-ax+a-2=\bruch{(x-1)*(a-2)*x(2x-a)}{(-1)(-2+a)(-1)(-a+2x)}
[/mm]
[mm] \gdw 2x^{2}-ax+a-2=x^{2}-x [/mm] |+x [mm] ;-x^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}+x-ax+a-2=0 [/mm]
Soweit mein Lösungsansatz.
Im folgendem kann ich a bzw x hin und herschieben ohne
eins davon sinnvoll zu isolieren.
Wie muss ich weiter verfahren um eine Lösungsmenge und einen Definitionsbereich bestimmen zu können?
Mfg
HiitNiit
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hi, HiitNiit,
> [mm]\bruch{1}{a-2}+\bruch{1}{2x^{2}-ax}=\bruch{x-1}{(2-a)(a-2x)} ;a\not=2[/mm]
>
> Aufgabe: Bestimmen Sie den Definitionsbereich D und die
> Lösungsmenge der Gleichung.
Immer zuerst (!) die Definitionsmenge!
Da a [mm] \not= [/mm] 2 ist D = [mm] \IR \backslash \{0; \bruch{a}{2} \} [/mm]
> [mm]\bruch{1}{a-2}+\bruch{1}{2x^{2}-ax}=\bruch{x-1}{(2-a)(a-2x)}[/mm] | * [mm](a-2)(2x^{2}-ax)[/mm]
>
> [mm]\gdw 2x^{2}-ax+a-2=\bruch{(x-1)*(a-2)*x(2x-a)}{(-1)(-2+a)(-1)(-a+2x)}[/mm]
>
> [mm]\gdw 2x^{2}-ax+a-2=x^{2}-x[/mm] |+x [mm];-x^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw x^{2}+x-ax+a-2=0[/mm]
>
> Soweit mein Lösungsansatz.
Alles richtig gerechnet!
> Im folgendem kann ich a bzw x hin und herschieben ohne
> eins davon sinnvoll zu isolieren.
>
> Wie muss ich weiter verfahren um eine Lösungsmenge und
> einen Definitionsbereich bestimmen zu können?
Es geht ja nur noch um die Lösungsmenge. Lösungsvariable ist x.
Und für x ergibt sich ja eine quadratische Gleichung, die man mit "Mitternachtsformel" lösen kann:
[mm] x^{2}+ [/mm] (1-a)x + (a-2) =0
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{a-1 \pm \wurzel{(a-1)^{2} -4(a-2)}}{2}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{a-1 \pm \wurzel{a^{2} - 2a + 1 - 4a +8}}{2}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{a-1 \pm \wurzel{a^{2} - 6a + 9}}{2}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{a-1 \pm \wurzel{(a - 3)^{2}}}{2}
[/mm]
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{a - 1 \pm (a - 3)}{2}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = a-2; [mm] x_{2} [/mm] = 1
Da a [mm] \not= [/mm] 2 ist, kann [mm] x_{1} [/mm] niemals =0 sein und [mm] \bruch{a}{2} [/mm] nicht = 1.
Dennoch gibt es einen Sonderfall:
a - 2 = [mm] \bruch{a}{2} [/mm] <=> a = 4.
In diesem Fall ist also nur [mm] x_{2}=1 [/mm] eine Lösung der Gleichung.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Mo 23.10.2006 | | Autor: | HiitNiit |
Hi. Erst einmal ein dickes Dankeschön für deine Hilfe.
Ich kannte die Mitternachtsformel nicht, aber mit ihr hat es danach nur noch 5 Minuten gedauert. Wäre nett, wenn du mir meine Lösung noch bestätigen könntest :) .
Mitternachtsformel bringt mich zu:
[mm] x_{1/2}= \bruch{a-1\pm\wurzel{(a-1)^2 - 4(a-2)}}{2}
[/mm]
[mm] x_{1/2}= \bruch{a-1\pm\wurzel{a^2-6a-9}}{2}
[/mm]
Die Zahlen in der Wurzel bieten sich für eine PQ-Formel an.
[mm] 3\pm\wurzel{0}
[/mm]
a=3
Wert für a in
[mm] x_{1/2}= \bruch{a-1\pm\wurzel{a^2-6a-9}}{2}
[/mm]
einsetzen:
[mm] x_{1/2}=\bruch{2\pm\wurzel{9-18+9}}{2}
[/mm]
[mm] x_{1/2}=1
[/mm]
Alles eingestzt in die Ursprungsgleichung ergibt 0=0.
Lösungsmenge ist demnach: L{a;x|a=3,x=1}
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, NiitHiit,
> Mitternachtsformel bringt mich zu:
>
> [mm]x_{1/2}= \bruch{a-1\pm\wurzel{(a-1)^2 - 4(a-2)}}{2}[/mm]
>
> [mm]x_{1/2}= \bruch{a-1\pm\wurzel{a^2-6a-9}}{2}[/mm]
Da hast Du einen Vorzeichenfehler drin: Es muss in der Wurzel "+9" heißen!
> Die Zahlen in der Wurzel bieten sich für eine PQ-Formel an.
Naja: Mit binomischer Formel geht's schneller:
[mm] a^{2} [/mm] - 6a + 9 = (a - [mm] 3)^{2} [/mm]
> [mm]3\pm\wurzel{0}[/mm]
>
> a=3
>
> Wert für a in
>
> [mm]x_{1/2}= \bruch{a-1\pm\wurzel{a^2-6a-9}}{2}[/mm]
>
> einsetzen:
>
> [mm]x_{1/2}=\bruch{2\pm\wurzel{9-18+9}}{2}[/mm]
>
> [mm]x_{1/2}=1[/mm]
>
> Alles eingestzt in die Ursprungsgleichung ergibt 0=0.
>
> Lösungsmenge ist demnach: L{a;x|a=3,x=1}
So schreibt man das aber nicht!
Du hast hier nur die Lösungsmenge für den Fall a=3 rausgekriegt, daher:
Für a = 3 ist L = { x=1 }
(Übrigens: Den Sonderfall hab' ich bei meiner Antwort oben tatsächlich vergessen! Gratuliere! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") )
Du musst die Lösungsmenge der anderen Fälle (die ich Dir vorgerechnet habe) auch noch notieren:
Für a = 4 ist L = { x=1 }
Für a [mm] \in \IR \backslash \{2; 3; 4 \} [/mm] ist L = { x=a-2 [mm] \vee\ [/mm] x=1}
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mo 23.10.2006 | | Autor: | HiitNiit |
Wie kommst du auf den Definitionsbereich D= [mm] \IR \setminus \{ 0; \bruch{a}{2} \} [/mm] ?
Wie schließt der Bruch [mm] \bruch{a}{2} [/mm] , a=2 aus?
mfg
HiitNiit
|
|
|
| |
|
Hi, HiitNiit,
> Wie kommst du auf den Definitionsbereich D= [mm]\IR \setminus \{ 0; \bruch{a}{2} \}[/mm] ?
Die Definitionsmenge bezieht sich immer auf die LÖSUNGSVARIABLE.
Diese ist normalerweise - und somit auch hier - der Buchstabe x; das a ist "nur" Parameter.
Nun musst Du also untersuchen, für welche Werte von x die vorgegebenen Nenner =0 werden können.
Und da wirst Du rauskriegen: x=0 [mm] \vee\ x=\bruch{a}{2}.
[/mm]
Ergo sind diese beiden Werte die "Definitionslücken".
> Wie schließt der Bruch [mm]\bruch{a}{2}[/mm] , a=2 aus?
Die Frage versteh' ich nicht! Wo kommt das vor?
Jedenfalls: Der Bruch als solcher schließt a=2 nicht aus; das [mm] a\not= [/mm] 2 war vorgegeben (natürlich deshalb, weil sonst im Nenner des allersten Bruches 0 rauskäme!).
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Mo 23.10.2006 | | Autor: | HiitNiit |
Vergiss die Frage, die ist dumm, da hab ich nicht, oder zu schnell gedacht. Ja, was soll ich sagen: Ein RIIIIIIEEEEEEEESEN DANKESCHÖN! Saß jetzt 2 Tage an der Aufgabe, muss mir unbedingt die Mitternachtsformel notieren.
Danke nochmals und einen schönen Abend noch.
mfg HiitNiit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, HiitNiit,
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
