Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:27 Sa 22.01.2011 | | Autor: | sqrt25 |
| Aufgabe | Satz: Jede stetige Funktion f mit kompaktem Definitionsbereich D ist sogar gleichmäßig stetig.
Beweise den Satz mit der Heine-Borel'schen Überdeckungseigenschaft |
Damit eine Funktion gleichmäßig stetig ist, muss gelten:
[mm] \forall\epsilon>0 \exists \delta=\delta(\epsilon)>0 [/mm] mit [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] sodass folgt: [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon [/mm]
[mm] \forall x,x_0 \in [/mm] D
Heine-Borel'sche Überdeckungseigenschaft: Jede Überdeckung von D durch offene Mengen [mm] (U_i)_{i\in I} [/mm] enthält eine endliche Teilüberdeckung [mm] U_i_1,U_i_2,....,U_i_k (k\in \IN) [/mm] von D
Leider habe ich keine Ahnung, weshalb sich die Existenz eines solchen Deltas aus der endlichen Überdeckung des Definitionsbereichs ergibt. Dass der Satz wegen der Heine- Borel'schen Überdeckungseigenschaft stimmt,ist mir noch nicht mal "intuitiv" klar, weshalb ich hier leider keine Lösungsansätze posten kann.
Vielen Dank im Voraus =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Mo 24.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Mo 24.01.2011 | | Autor: | sqrt25 |
Hat niemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Mo 24.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hat niemand eine Idee?
Da f stetig ist, ist für festes [mm] $x_0$ [/mm] die Menge
[mm] U_\varepsilon(x_0)=\{x\in D \mid |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \} [/mm]
eine offene Umgebung von [mm] $x_0$. [/mm] Also bilden alle [mm] $(U_\varepsilon(x_0))_{x_0\in D}$ [/mm] eine offene Überdeckung von D.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:47 Mo 24.01.2011 | | Autor: | sqrt25 |
Erst mal vielen Dank =)
Leider erkenne ich nicht, warum sich aus der bloßen Existenz dieser Umgebung, die es gibt, weil f stetig ist (das verstehe ich) dann auch die gleichmäßige Stetigkeit von f ergibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erst mal vielen Dank =)
>
> Leider erkenne ich nicht, warum sich aus der bloßen
> Existenz dieser Umgebung, die es gibt, weil f stetig ist
> (das verstehe ich) dann auch die gleichmäßige Stetigkeit
> von f ergibt.
Du musst schon ein wenig (mehr) mitdenken. Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Weil [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist, sind Urbilder offener Mengen wieder offen, daher ist für jedes [mm] $x_0 \in [/mm] D$ die Menge
[mm] $$\mathcal{O}_{x_0}:=\{x \in D: |f(x)-f(x_0)| < \epsilon\} \subseteq [/mm] D$$
offen in [mm] $D\,.$ [/mm] Ferner gilt
[mm] $$\bigcup_{x_0 \in D}\mathcal{O}_{x_0}=D\,,$$
[/mm]
denn [mm] $\subseteq$ [/mm] ist klar, da linkerhand nur Teilmengen von [mm] $D\,$ [/mm] vereint werden, und [mm] $\supseteq$ [/mm] ergibt sich, weil für $x [mm] \in [/mm] D$ sofort $x [mm] \in \mathcal{O}(x)$ [/mm] folgt, und letztgenannte Menge ist offenbar eine Teilmenge der Vereinigung linkerhand.
Das bedeutet aber, dass die Familie [mm] $(\mathcal{O}(x_0))_{x_0 \in D}$ [/mm] eine Überdeckung von [mm] $D\,$ [/mm] mit offenen Mengen ist. Nach Heine-Borel existieren also ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $x_1,\ldots,x_N \in [/mm] D$ so, dass schon [mm] $(\mathcal{O}_{j})_{j=1}^N$ [/mm] (wobei [mm] $\mathcal{O}_j:=\mathcal{O}(x_j)$ [/mm] für [mm] $j=1,\ldots,N$) [/mm] eine offene Überdeckung von [mm] $D\,$ [/mm] ist; also dass
[mm] $$(\star)\;\;\;\bigcup_{j=1}^N \mathcal{O}(x_j)=D\,,$$
[/mm]
wobei man o.E. davon ausgehen kann, dass [mm] $x_1,\ldots,x_N$ [/mm] paarweise verschiedene Elemente aus [mm] $D\,$ [/mm] sind.
Beachte nun: Alle [mm] $\mathcal{O}(x_j)$ [/mm] sind insbesondere offen.
Naja, und ehrlich gesagt komme ich selbst gerade an der Stelle nicht weiter. Ich wollte dann quasi die offenen Mengen jeweils mit offenen Kugeln ausfüllen (geht in metrischen Räumen jedenfalls), dann die Gesamtheit dieser Kugeln wieder als Überdeckung von [mm] $D\,$ [/mm] hernehmen, und dann gibt es eine offene Kugel dieser "Gesamtkugelüberdeckung" mit minimalen Radius, da diese Überdeckung mit offenen Kugeln ja wegen der Kompaktheit von [mm] $D\,$ [/mm] eine endliche Teilüberdeckung mit offenen Kugeln hat. Aber das scheint mir nicht zu funktionieren.
Ich denke, vielleicht ist es hier wirklich sinnvoller, einen Widerspruchsbeweis zu führen...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:51 Di 25.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel!
> Hallo,
>
> > Erst mal vielen Dank =)
> >
> > Leider erkenne ich nicht, warum sich aus der bloßen
> > Existenz dieser Umgebung, die es gibt, weil f stetig ist
> > (das verstehe ich) dann auch die gleichmäßige Stetigkeit
> > von f ergibt.
>
> Du musst schon ein wenig (mehr) mitdenken. Sei [mm]\epsilon > 0[/mm]
> beliebig, aber fest. Weil [mm]f\,[/mm] stetig ist, sind Urbilder
> offener Mengen wieder offen, daher ist für jedes [mm]x_0 \in D[/mm]
> die Menge
> [mm]\mathcal{O}_{x_0}:=\{x \in D: |f(x)-f(x_0)| < \epsilon\} \subseteq D[/mm]
>
> offen in [mm]D\,.[/mm] Ferner gilt
> [mm]\bigcup_{x_0 \in D}\mathcal{O}_{x_0}=D\,,[/mm]
> denn [mm]\subseteq[/mm]
> ist klar, da linkerhand nur Teilmengen von [mm]D\,[/mm] vereint
> werden, und [mm]\supseteq[/mm] ergibt sich, weil für [mm]x \in D[/mm] sofort
> [mm]x \in \mathcal{O}(x)[/mm] folgt, und letztgenannte Menge ist
> offenbar eine Teilmenge der Vereinigung linkerhand.
>
> Das bedeutet aber, dass die Familie [mm](\mathcal{O}(x_0))_{x_0 \in D}[/mm]
> eine Überdeckung von [mm]D\,[/mm] mit offenen Mengen ist. Nach
> Heine-Borel existieren also ein [mm]N \in \IN[/mm] und
> [mm]x_1,\ldots,x_N \in D[/mm] so, dass schon
> [mm](\mathcal{O}_{j})_{j=1}^N[/mm] (wobei
> [mm]\mathcal{O}_j:=\mathcal{O}(x_j)[/mm] für [mm]j=1,\ldots,N[/mm]) eine
> offene Überdeckung von [mm]D\,[/mm] ist; also dass
> [mm](\star)\;\;\;\bigcup_{j=1}^N \mathcal{O}(x_j)=D\,,[/mm]
> wobei
> man o.E. davon ausgehen kann, dass [mm]x_1,\ldots,x_N[/mm] paarweise
> verschiedene Elemente aus [mm]D\,[/mm] sind.
>
> Beachte nun: Alle [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm] sind insbesondere
> offen.
>
> Naja, und ehrlich gesagt komme ich selbst gerade an der
> Stelle nicht weiter. Ich wollte dann quasi die offenen
> Mengen jeweils mit offenen Kugeln ausfüllen (geht in
> metrischen Räumen jedenfalls), dann die Gesamtheit dieser
> Kugeln wieder als Überdeckung von [mm]D\,[/mm] hernehmen, und dann
> gibt es eine offene Kugel dieser "Gesamtkugelüberdeckung"
> mit minimalen Radius, da diese Überdeckung mit offenen
> Kugeln ja wegen der Kompaktheit von [mm]D\,[/mm] eine endliche
> Teilüberdeckung mit offenen Kugeln hat. Aber das scheint
> mir nicht zu funktionieren.
Geh zurück auf die ursprüngliche Definition der [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm]:
[mm]\mathcal{O}_{x_j}:=\{x \in D: |f(x)-f(x_j)| < \epsilon\} [/mm] .
Es gibt zu jeder dieser Mengen ein [mm] $\delta_j>0$, [/mm] sodass [mm] $x\in \mathcal{O}_{x_j}$ [/mm] wenn [mm] $|x-x_j|<\delta_j$. [/mm] Dann brauchst du nur noch [mm] $\delta [/mm] := [mm] \min_j \{\delta_j\}$ [/mm] zu setzen, und die Überdeckungseigenschaft der [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm] liefert die glm. Stetigkeit.
EDIT: Das war vielleicht ein bischen zu knapp. Deswegen noch ein weiterer Schritt:
Für [mm] $x,y\in [/mm] D$ gilt
[mm] |f(x)-f(y)| = |f(x)-f(x_j) - (f(y)-f(x_j)| \le |f(x)-f(x_j)| + |f(y)-f(x_j)| < 2\varepsilon [/mm]
wenn x und y beide in einer [mm] $\delta_j$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] liegen. Das ist sicher der Fall, wenn
[mm] $|x-x_j| <\delta/2 [/mm] $ und $|x-y| [mm] <\delta/2$ [/mm] für alle [mm] $j=1,\dots,n$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Di 25.01.2011 | | Autor: | sqrt25 |
> EDIT: Das war vielleicht ein bischen zu knapp. Deswegen
> noch ein weiterer Schritt:
>
> Für [mm]x,y\in D[/mm] gilt
>
> [mm]|f(x)-f(y)| = |f(x)-f(x_j) - (f(y)-f(x_j)| \le |f(x)-f(x_j)| + |f(y)-f(x_j)| < 2\varepsilon[/mm]
>
> wenn x und y beide in einer [mm]\delta_j[/mm]-Umgebung von [mm]x_0[/mm]
> liegen. Das ist sicher der Fall, wenn
>
> [mm]|x-x_j| <\delta/2[/mm] und [mm]|x-y| <\delta/2[/mm] für alle
> [mm]j=1,\dots,n[/mm].
Schon mal vielen Dank für alle Antworten. Warum wählst du gerade [mm] \delta/2?
[/mm]
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > EDIT: Das war vielleicht ein bischen zu knapp. Deswegen
> > noch ein weiterer Schritt:
> >
> > Für [mm]x,y\in D[/mm] gilt
> >
> > [mm]|f(x)-f(y)| = |f(x)-f(x_j) - (f(y)-f(x_j)| \le |f(x)-f(x_j)| + |f(y)-f(x_j)| < 2\varepsilon[/mm]
>
> >
> > wenn x und y beide in einer [mm]\delta_j[/mm]-Umgebung von [mm]x_0[/mm]
> > liegen. Das ist sicher der Fall, wenn
> >
> > [mm]|x-x_j| <\delta/2[/mm] und [mm]|x-y| <\delta/2[/mm] für alle
> > [mm]j=1,\dots,n[/mm].
>
> Schon mal vielen Dank für alle Antworten. Warum wählst du
> gerade [mm]\delta/2?[/mm]
er würde es wegen der Dreiecksungleichung machen, weil dann
[mm] $$|y-x_j|\le |y-x|+|x-x_j| [/mm] < [mm] \delta/2+\delta/2=2\delta/2=\delta$$
[/mm]
folgen würde. Aber wie gesagt:
Dieser Beweis ist meiner Meinung nach nicht ganz schlüssig. Jedenfalls für mich nicht. (Was nicht heißt, dass er nicht korrekt ist; nur sehe ich da ein wesentliches Argument nicht ohne weiteres ein!)
Du kannst aber mal nach einem Beweis suchen: Stichwörter für google wären "Satz von Heine+gleichmäßig stetig" oder analoges. Auch bei Wiki findet man einen Beweis; und auch sonst. Aber ich habe da auch immer nur den Beweis in der mir gängigen Version gefunden, wo man neben der Überdeckung auch ein Teilfolgenargument benutzt. (Jede Folge in einer kompakten Menge hat stets eine konvergente Teilfolge (jedenfalls wenn das Kompaktum das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, wie ich gerade bei Wiki nachgeschlagen habe; ansonsten hat eine jede Folge einen Häufungspunkt in [mm] $K\,.$ [/mm] Frage mich jetzt aber nicht, wieso man daraus nicht auf die Existenz einer gegen diesen Häufungspunkt konvergierenden Teilfolge schließen kann; ich kann Dir dann nur sagen, dass man bei derartigen Argumentationen wohl das erste Abzählbarkeitsaxiom benutzt  Ich bin mir aber sicher: In metrischen Räumen gilt dieses Abzählbarkeitsaxiom stets!). In gewissen topologischen Räumen charakterisiert das sogar ein Kompaktum.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Di 25.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rainer,
> Hallo Marcel!
>
> > Hallo,
> >
> > > Erst mal vielen Dank =)
> > >
> > > Leider erkenne ich nicht, warum sich aus der bloßen
> > > Existenz dieser Umgebung, die es gibt, weil f stetig ist
> > > (das verstehe ich) dann auch die gleichmäßige Stetigkeit
> > > von f ergibt.
> >
> > Du musst schon ein wenig (mehr) mitdenken. Sei [mm]\epsilon > 0[/mm]
> > beliebig, aber fest. Weil [mm]f\,[/mm] stetig ist, sind Urbilder
> > offener Mengen wieder offen, daher ist für jedes [mm]x_0 \in D[/mm]
> > die Menge
> > [mm]\mathcal{O}_{x_0}:=\{x \in D: |f(x)-f(x_0)| < \epsilon\} \subseteq D[/mm]
>
> >
> > offen in [mm]D\,.[/mm] Ferner gilt
> > [mm]\bigcup_{x_0 \in D}\mathcal{O}_{x_0}=D\,,[/mm]
> > denn
> [mm]\subseteq[/mm]
> > ist klar, da linkerhand nur Teilmengen von [mm]D\,[/mm] vereint
> > werden, und [mm]\supseteq[/mm] ergibt sich, weil für [mm]x \in D[/mm] sofort
> > [mm]x \in \mathcal{O}(x)[/mm] folgt, und letztgenannte Menge ist
> > offenbar eine Teilmenge der Vereinigung linkerhand.
> >
> > Das bedeutet aber, dass die Familie [mm](\mathcal{O}(x_0))_{x_0 \in D}[/mm]
> > eine Überdeckung von [mm]D\,[/mm] mit offenen Mengen ist. Nach
> > Heine-Borel existieren also ein [mm]N \in \IN[/mm] und
> > [mm]x_1,\ldots,x_N \in D[/mm] so, dass schon
> > [mm](\mathcal{O}_{j})_{j=1}^N[/mm] (wobei
> > [mm]\mathcal{O}_j:=\mathcal{O}(x_j)[/mm] für [mm]j=1,\ldots,N[/mm]) eine
> > offene Überdeckung von [mm]D\,[/mm] ist; also dass
> > [mm](\star)\;\;\;\bigcup_{j=1}^N \mathcal{O}(x_j)=D\,,[/mm]
> >
> wobei
> > man o.E. davon ausgehen kann, dass [mm]x_1,\ldots,x_N[/mm] paarweise
> > verschiedene Elemente aus [mm]D\,[/mm] sind.
> >
> > Beachte nun: Alle [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm] sind insbesondere
> > offen.
> >
> > Naja, und ehrlich gesagt komme ich selbst gerade an der
> > Stelle nicht weiter. Ich wollte dann quasi die offenen
> > Mengen jeweils mit offenen Kugeln ausfüllen (geht in
> > metrischen Räumen jedenfalls), dann die Gesamtheit dieser
> > Kugeln wieder als Überdeckung von [mm]D\,[/mm] hernehmen, und dann
> > gibt es eine offene Kugel dieser "Gesamtkugelüberdeckung"
> > mit minimalen Radius, da diese Überdeckung mit offenen
> > Kugeln ja wegen der Kompaktheit von [mm]D\,[/mm] eine endliche
> > Teilüberdeckung mit offenen Kugeln hat. Aber das scheint
> > mir nicht zu funktionieren.
>
> Geh zurück auf die ursprüngliche Definition der
> [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm]:
>
> [mm]\mathcal{O}_{x_j}:=\{x \in D: |f(x)-f(x_j)| < \epsilon\}[/mm] .
>
> Es gibt zu jeder dieser Mengen ein [mm]\delta_j>0[/mm], sodass [mm]x\in \mathcal{O}_{x_j}[/mm]
> wenn [mm]|x-x_j|<\delta_j[/mm]. Dann brauchst du nur noch [mm]\delta := \min_j \{\delta_j\}[/mm]
> zu setzen, und die Überdeckungseigenschaft der
> [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm] liefert die glm. Stetigkeit.
>
> EDIT: Das war vielleicht ein bischen zu knapp. Deswegen
> noch ein weiterer Schritt:
>
> Für [mm]x,y\in D[/mm] gilt
>
> [mm]|f(x)-f(y)| = |f(x)-f(x_j) - (f(y)-f(x_j)| \le |f(x)-f(x_j)| + |f(y)-f(x_j)| < 2\varepsilon[/mm]
>
> wenn x und y beide in einer [mm]\delta_j[/mm]-Umgebung von [mm]x_0[/mm]
> liegen. Das ist sicher der Fall, wenn
>
> [mm]|x-x_j| <\delta/2[/mm] und [mm]|x-y| <\delta/2[/mm] für alle
> [mm]j=1,\dots,n[/mm].
das Problem meinerseits ist letztgenanntes. Wenn ich sagen kann, dass mit einem [mm] $\delta [/mm] > 0$ folgt, dass aus $x,y [mm] \in [/mm] D$ mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] auch folgt, dass [mm] $x,y\,$ [/mm] in einer gemeinsamen [mm] $x_j$-Umgebung [/mm] liegen, dann ist alles bewiesen. Aber das sehe ich nicht und ich denke auch nicht, dass das stimmt:
Das Problem liegt bei mir in folgendem:
Für $x,y [mm] \in [/mm] D$ gibt es sicher bzgl. [mm] $x\,$ [/mm] ein [mm] $x_j$ [/mm] derart, dass [mm] $x\,$ [/mm] in dieser [mm] $x_j\,$-Umgebung $\mathcal{O}(x_j)$ [/mm] liegt. Nun hast Du o.E. angenommen, dass das [mm] $x\,$ [/mm] in [mm] $\mathcal{O}(x_0)$ [/mm] liegt (passt nicht zu meiner Numerierung, da meine Indizes bei [mm] $1\,$ [/mm] angefangen haben, aber wurscht).
Nun gilt daher sicher [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta\,,$ [/mm] nach Definition des [mm] $\delta\,.$ [/mm]
PROBLEM:
Wie kann ich denn [mm] $|x-x_j| [/mm] < [mm] \delta/2$ [/mm] für alle [mm] $j=1,\ldots,N$ [/mm] annehmen oder erzwingen? Das sehe ich nicht. Die [mm] $x,y\,$ [/mm] können ja auch mit einem Abstand echt kleiner als [mm] $\delta/2\,,$ [/mm] aber quasi an "angrenzende Umgebungen" gewählt werden. Und die Ränder zweier angrenzender Umgebungen können sich beliebig nahe kommen, auch wenn das disjunkte Umgebungen sind. Also zwei Probleme:
1.) Mich stört, dass oben [mm] "$|x-x_j| \le \delta/2$" [/mm] für alle [mm] $j=1,\ldots,N$ [/mm] gelten soll. Wenn man sich ein passendes Bild malt, sieht man das auch nicht ein.
2.) Daher sehe ich nicht (und auch wegen obigem Argument), wie man [mm] $x,y\,$ [/mm] "BEIDE" nur durch Angabe eines genügend kleinen [mm] $\delta [/mm] > 0$ in eine GEMEINSAME "glm-Stetigkeitsumgebung" zwingen können sollte.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mi 26.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel!
> Hallo Rainer,
>
> > Hallo Marcel!
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > > Erst mal vielen Dank =)
> > > >
> > > > Leider erkenne ich nicht, warum sich aus der bloßen
> > > > Existenz dieser Umgebung, die es gibt, weil f stetig ist
> > > > (das verstehe ich) dann auch die gleichmäßige Stetigkeit
> > > > von f ergibt.
> > >
> > > Du musst schon ein wenig (mehr) mitdenken. Sei [mm]\epsilon > 0[/mm]
> > > beliebig, aber fest. Weil [mm]f\,[/mm] stetig ist, sind Urbilder
> > > offener Mengen wieder offen, daher ist für jedes [mm]x_0 \in D[/mm]
> > > die Menge
> > > [mm]\mathcal{O}_{x_0}:=\{x \in D: |f(x)-f(x_0)| < \epsilon\} \subseteq D[/mm]
>
> >
> > >
> > > offen in [mm]D\,.[/mm] Ferner gilt
> > > [mm]\bigcup_{x_0 \in D}\mathcal{O}_{x_0}=D\,,[/mm]
> > >
> denn
> > [mm]\subseteq[/mm]
> > > ist klar, da linkerhand nur Teilmengen von [mm]D\,[/mm] vereint
> > > werden, und [mm]\supseteq[/mm] ergibt sich, weil für [mm]x \in D[/mm] sofort
> > > [mm]x \in \mathcal{O}(x)[/mm] folgt, und letztgenannte Menge ist
> > > offenbar eine Teilmenge der Vereinigung linkerhand.
> > >
> > > Das bedeutet aber, dass die Familie [mm](\mathcal{O}(x_0))_{x_0 \in D}[/mm]
> > > eine Überdeckung von [mm]D\,[/mm] mit offenen Mengen ist. Nach
> > > Heine-Borel existieren also ein [mm]N \in \IN[/mm] und
> > > [mm]x_1,\ldots,x_N \in D[/mm] so, dass schon
> > > [mm](\mathcal{O}_{j})_{j=1}^N[/mm] (wobei
> > > [mm]\mathcal{O}_j:=\mathcal{O}(x_j)[/mm] für [mm]j=1,\ldots,N[/mm]) eine
> > > offene Überdeckung von [mm]D\,[/mm] ist; also dass
> > > [mm](\star)\;\;\;\bigcup_{j=1}^N \mathcal{O}(x_j)=D\,,[/mm]
>
> > >
> > wobei
> > > man o.E. davon ausgehen kann, dass [mm]x_1,\ldots,x_N[/mm] paarweise
> > > verschiedene Elemente aus [mm]D\,[/mm] sind.
> > >
> > > Beachte nun: Alle [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm] sind insbesondere
> > > offen.
> > >
> > > Naja, und ehrlich gesagt komme ich selbst gerade an der
> > > Stelle nicht weiter. Ich wollte dann quasi die offenen
> > > Mengen jeweils mit offenen Kugeln ausfüllen (geht in
> > > metrischen Räumen jedenfalls), dann die Gesamtheit dieser
> > > Kugeln wieder als Überdeckung von [mm]D\,[/mm] hernehmen, und dann
> > > gibt es eine offene Kugel dieser "Gesamtkugelüberdeckung"
> > > mit minimalen Radius, da diese Überdeckung mit offenen
> > > Kugeln ja wegen der Kompaktheit von [mm]D\,[/mm] eine endliche
> > > Teilüberdeckung mit offenen Kugeln hat. Aber das scheint
> > > mir nicht zu funktionieren.
> >
> > Geh zurück auf die ursprüngliche Definition der
> > [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm]:
> >
> > [mm]\mathcal{O}_{x_j}:=\{x \in D: |f(x)-f(x_j)| < \epsilon\}[/mm] .
> >
> > Es gibt zu jeder dieser Mengen ein [mm]\delta_j>0[/mm], sodass [mm]x\in \mathcal{O}_{x_j}[/mm]
> > wenn [mm]|x-x_j|<\delta_j[/mm]. Dann brauchst du nur noch [mm]\delta := \min_j \{\delta_j\}[/mm]
> > zu setzen, und die Überdeckungseigenschaft der
> > [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm] liefert die glm. Stetigkeit.
> >
> > EDIT: Das war vielleicht ein bischen zu knapp. Deswegen
> > noch ein weiterer Schritt:
> >
> > Für [mm]x,y\in D[/mm] gilt
> >
> > [mm]|f(x)-f(y)| = |f(x)-f(x_j) - (f(y)-f(x_j)| \le |f(x)-f(x_j)| + |f(y)-f(x_j)| < 2\varepsilon[/mm]
>
> >
> > wenn x und y beide in einer [mm]\delta_j[/mm]-Umgebung von [mm]x_0[/mm]
> > liegen. Das ist sicher der Fall, wenn
> >
> > [mm]|x-x_j| <\delta/2[/mm] und [mm]|x-y| <\delta/2[/mm] für alle
> > [mm]j=1,\dots,n[/mm].
>
> das Problem meinerseits ist letztgenanntes. Wenn ich sagen
> kann, dass mit einem [mm]\delta > 0[/mm] folgt, dass aus [mm]x,y \in D[/mm]
> mit [mm]|x-y| < \delta[/mm] auch folgt, dass [mm]x,y\,[/mm] in einer
> gemeinsamen [mm]x_j[/mm]-Umgebung liegen, dann ist alles bewiesen.
> Aber das sehe ich nicht und ich denke auch nicht, dass das
> stimmt:
>
> Das Problem liegt bei mir in folgendem:
> Für [mm]x,y \in D[/mm] gibt es sicher bzgl. [mm]x\,[/mm] ein [mm]x_j[/mm] derart,
> dass [mm]x\,[/mm] in dieser [mm]x_j\,[/mm]-Umgebung [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm] liegt.
> Nun hast Du o.E. angenommen, dass das [mm]x\,[/mm] in
> [mm]\mathcal{O}(x_0)[/mm] liegt (passt nicht zu meiner Numerierung,
> da meine Indizes bei [mm]1\,[/mm] angefangen haben, aber wurscht).
>
> Nun gilt daher sicher [mm]|x-x_0| < \delta\,,[/mm] nach Definition
> des [mm]\delta\,.[/mm]
>
> PROBLEM:
> Wie kann ich denn [mm]|x-x_j| < \delta/2[/mm] für alle
> [mm]j=1,\ldots,N[/mm] annehmen oder erzwingen? Das sehe ich nicht.
> Die [mm]x,y\,[/mm] können ja auch mit einem Abstand echt kleiner
> als [mm]\delta/2\,,[/mm] aber quasi an "angrenzende Umgebungen"
> gewählt werden. Und die Ränder zweier angrenzender
> Umgebungen können sich beliebig nahe kommen, auch wenn das
> disjunkte Umgebungen sind. Also zwei Probleme:
> 1.) Mich stört, dass oben "[mm]|x-x_j| \le \delta/2[/mm]" für
> alle [mm]j=1,\ldots,N[/mm] gelten soll. Wenn man sich ein passendes
> Bild malt, sieht man das auch nicht ein.
Das ist auch nicht so, das habe ich falsch aufgeschrieben. Es sollte nicht heißen: diese Ungleichungen elten für alle j, sondern: da es immer ein j gibt, für das die Ungleichungen gelten, gilt die Aussage unabhängig von j.
Wenn [mm] $|x-x_j|<\delta/2 [/mm] $ für ein j, und wenn [mm] $|x-y|<\delta/2$, [/mm] dann ist per Dreiecksungleichung [mm] $|y-x_j|<\delta$ [/mm] und daher [mm] $|f(x)-f(y)|<2\epsilon$. [/mm]
> 2.) Daher sehe ich nicht (und auch wegen obigem Argument),
> wie man [mm]x,y\,[/mm] "BEIDE" nur durch Angabe eines genügend
> kleinen [mm]\delta > 0[/mm] in eine GEMEINSAME
> "glm-Stetigkeitsumgebung" zwingen können sollte.
OK, ich sehe dein Problem. Es muss sichergestellt sein, dass sowohl x als auch y in demselben [mm] $\mathcal{O}(x_j)$ [/mm] liegen.
Dann versuche ich mal, den Beweis zu korrigieren:
1. Ich starte mit [mm] $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ [/mm] und betrachte nun die Mengen
[mm] \mathcal{O}_{x_0} := \{x\in D\mid |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon/2\} [/mm] für [mm] $x_0\in [/mm] D$ .
2. Die Menge aller dieser Umgebungen bildet eine offene Überdeckung von D. Da D kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung [mm] $\mathcal{O}_{x_j}$, $j=1,\dots,n$.
[/mm]
3. Da f stetig ist, gibt es zu jedem j ein [mm] $\delta_j$, [/mm] sodass [mm] $|f(x)-f(x_j)|<\varepsilon/2$, [/mm] wenn [mm] $|x-x_j|<\delta_j$. [/mm]
4. Da die Intervalle [mm] $I_j:=(x_j-\delta_j,x_j+\delta_j)$ [/mm] offen sind, ist für [mm] $j\not=k$ [/mm] der Durchschnitt [mm] $I_{ij} [/mm] := [mm] I_j\cap I_k$ [/mm] entweder die leere Menge (wenn [mm] $|x_i-x_j| \ge \delta_i+\delta_j$ [/mm] ist) oder ein offenes Intervall der Länge [mm] $\delta_i+\delta_j [/mm] - [mm] |x_i-x_j|$. [/mm] Nimm als [mm] $\delta$ [/mm] die Länge des kürzesten nichtleeren [mm] $I_{jk}$:
[/mm]
[mm] \delta := \min_{\substack{i\not=j\\|x_i-x_j| < \delta_i+\delta_j}} (\delta_i+\delta_j - |x_i-x_j|) [/mm] .
Da es nur endlich viele nichtleere Durchschnitte gibt, ist [mm] $\delta>0$.
[/mm]
5. Wenn nun [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] ist, so liegen sowohl x als auch y beide in einem der [mm] $I_j$.
[/mm]
6. Dann folgt, dass [mm] $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rainer,
> > ...
> > Das Problem liegt bei mir in folgendem:
> > Für [mm]x,y \in D[/mm] gibt es sicher bzgl. [mm]x\,[/mm] ein [mm]x_j[/mm] derart,
> > dass [mm]x\,[/mm] in dieser [mm]x_j\,[/mm]-Umgebung [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm] liegt.
> > Nun hast Du o.E. angenommen, dass das [mm]x\,[/mm] in
> > [mm]\mathcal{O}(x_0)[/mm] liegt (passt nicht zu meiner Numerierung,
> > da meine Indizes bei [mm]1\,[/mm] angefangen haben, aber wurscht).
> >
> > Nun gilt daher sicher [mm]|x-x_0| < \delta\,,[/mm] nach Definition
> > des [mm]\delta\,.[/mm]
> >
> > PROBLEM:
> > Wie kann ich denn [mm]|x-x_j| < \delta/2[/mm] für alle
> > [mm]j=1,\ldots,N[/mm] annehmen oder erzwingen? Das sehe ich nicht.
> > Die [mm]x,y\,[/mm] können ja auch mit einem Abstand echt kleiner
> > als [mm]\delta/2\,,[/mm] aber quasi an "angrenzende Umgebungen"
> > gewählt werden. Und die Ränder zweier angrenzender
> > Umgebungen können sich beliebig nahe kommen, auch wenn das
> > disjunkte Umgebungen sind. Also zwei Probleme:
> > 1.) Mich stört, dass oben "[mm]|x-x_j| \le \delta/2[/mm]" für
> > alle [mm]j=1,\ldots,N[/mm] gelten soll. Wenn man sich ein passendes
> > Bild malt, sieht man das auch nicht ein.
>
> Das ist auch nicht so, das habe ich falsch aufgeschrieben.
> Es sollte nicht heißen: diese Ungleichungen elten für
> alle j, sondern: da es immer ein j gibt, für das die
> Ungleichungen gelten, gilt die Aussage unabhängig von j.
>
> Wenn [mm]|x-x_j|<\delta/2[/mm] für ein j, und wenn [mm]|x-y|<\delta/2[/mm],
> dann ist per Dreiecksungleichung [mm]|y-x_j|<\delta[/mm] und daher
> [mm]|f(x)-f(y)|<2\epsilon[/mm].
>
> > 2.) Daher sehe ich nicht (und auch wegen obigem Argument),
> > wie man [mm]x,y\,[/mm] "BEIDE" nur durch Angabe eines genügend
> > kleinen [mm]\delta > 0[/mm] in eine GEMEINSAME
> > "glm-Stetigkeitsumgebung" zwingen können sollte.
>
> OK, ich sehe dein Problem. Es muss sichergestellt sein,
> dass sowohl x als auch y in demselben [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm]
> liegen.
>
> Dann versuche ich mal, den Beweis zu korrigieren:
>
> 1. Ich starte mit [mm]|f(x)-f(y)|<\varepsilon[/mm] und betrachte nun
> die Mengen
>
> [mm]\mathcal{O}_{x_0} := \{x\in D\mid |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon/2\}[/mm]
> für [mm]x_0\in D[/mm] .
>
> 2. Die Menge aller dieser Umgebungen bildet eine offene
> Überdeckung von D. Da D kompakt ist, gibt es eine endliche
> Teilüberdeckung [mm]\mathcal{O}_{x_j}[/mm], [mm]j=1,\dots,n[/mm].
>
> 3. Da f stetig ist, gibt es zu jedem j ein [mm]\delta_j[/mm], sodass
> [mm]|f(x)-f(x_j)|<\varepsilon/2[/mm], wenn [mm]|x-x_j|<\delta_j[/mm].
>
> 4. Da die Intervalle [mm]I_j:=(x_j-\delta_j,x_j+\delta_j)[/mm] offen
> sind, ist für [mm]j\not=k[/mm] der Durchschnitt [mm]I_{ij} := I_j\cap I_k[/mm]
> entweder die leere Menge (wenn [mm]|x_i-x_j| \ge \delta_i+\delta_j[/mm]
> ist) oder ein offenes Intervall der Länge
> [mm]\delta_i+\delta_j - |x_i-x_j|[/mm]. Nimm als [mm]\delta[/mm] die Länge
> des kürzesten nichtleeren [mm]I_{jk}[/mm]:
>
> [mm]\delta := \min_{\substack{i\not=j\\|x_i-x_j| < \delta_i+\delta_j}} (\delta_i+\delta_j - |x_i-x_j|)[/mm]
> .
>
> Da es nur endlich viele nichtleere Durchschnitte gibt, ist
> [mm]\delta>0[/mm].
>
> 5. Wenn nun [mm]|x-y|<\delta[/mm] ist, so liegen sowohl x als auch y
> beide in einem der [mm]I_j[/mm].
>
> 6. Dann folgt, dass [mm]|f(x)-f(y)|<\varepsilon[/mm].
>
> Viele Grüße
> Rainer
ich muss mir das morgen mal in Ruhe angucken; vor allem aber muss ich es auf Papier ausgedruckt vor mir sehen, was ich hier leider nicht machen kann, da ich keinen Drucker hier habe. Aber wenn ich das richtig sehe, benutzt Du bei Deinem Beweis vor allem die Struktur von [mm] $(\IR,d_{|.|})\,,$ [/mm] welcher natürlich immer ein topologischer/metrischer/normierter Raum ist, der viele "zusätzliche" Eigenschaften besitzt, die z.B. allgemein in metrischen/topologischen Räumen nicht gelten. Daher muss ich mir in Deinem Beweis vor allem klarmachen, ob sich das auf allgemeine metrische Räume einfach verallgemeinern läßt, oder vielleicht wenigstens auf Räume wie den [mm] $\IR^n$ [/mm] oder [mm] $\IC^n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Mi 26.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel,
Heine-Borel gilt nicht in beliebigen metrischen Räumen, zunächst mal nur im [mm] $\IR^n$. [/mm] In beliebigen metrischen Räumen sind Mengen kompakt, wenn sie abgeschlossen und ![[]](/images/popup.gif) totalbeschränkt sind.
In beliebigen topologischen Räumen gibt es den Begriff "beschränkte Menge" nicht.
Im [mm] $\IR^n$ [/mm] ($n>1$) müsste man alle möglichen nichtleeren Durchschnitte von $(n+1)$ offenen Bällen [mm] $\mathcal{O}(x_j)$ [/mm] bilden.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rainer,
> Hallo Marcel,
>
> Heine-Borel gilt nicht in beliebigen metrischen Räumen,
> zunächst mal nur im [mm]\IR^n[/mm].
das stimmt natürlich. Er gilt auch im [mm] $\IC^n\,.$ [/mm] Ich hatte aber ganz vergessen, dass hier ja nach einer Aussage verlangt war, wo man Heine-Borel benutzen sollte. Irgendwie war das schon verwischt bei mir, in der Erinnerung verblasst sozusagen. Daher gut, dass Du das nochmal erwähnst. 
> In beliebigen metrischen
> Räumen sind Mengen kompakt, wenn sie abgeschlossen und
> totalbeschränkt
> sind.
Auch diese Gedächtnisauffrischung meinerseits tut mal gut.
> In beliebigen topologischen Räumen gibt es den Begriff
> "beschränkte Menge" nicht.
Mir ging's auch im Wesentlichen erstmal um den [mm] $\IR^n$ [/mm] oder [mm] $\IC^n\,.$ [/mm] Aber auch dieser Hinweis ist gut!
> Im [mm]\IR^n[/mm] ([mm]n>1[/mm]) müsste man alle möglichen nichtleeren
> Durchschnitte von [mm](n+1)[/mm] offenen Bällen [mm]\mathcal{O}(x_j)[/mm]
> bilden.
Ja, an sowas hatte ich auch schonmal gedacht. Aber irgendwie hatte ich beim Aufschreiben an einer Stelle gehangen, denn ich wollte wirklich halt mal versuchen, den von Dir vorgeschlagenen Beweis auszuarbeiten - eben weil mir eigentlich nur der andere Beweis mit Teilfolgenargumenten bekannt ist. Und mir Dein Vorschlag einfach besser gefällt, weil es halt ein direkter Beweis ist und weil mich die "topologische Argumentation" da interessiert.
Ich muss mir das aber alles mal in Ruhe angucken und drüber nachdenken, wenn ich mehr Zeit dazu habe. Vielleicht tauchen dann erneut Fragen auf; dann melde ich mich nochmal mit diesen.
Gruß,
Marcel
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