Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mi 16.12.2020 | | Autor: | hadamard |
| Aufgabe | Sei [mm] D\subset \IR [/mm] beschränkt und nichtleer. Weiters sei [mm] f\colon [/mm] D [mm] \to \IR [/mm] eine Abbildung.
Zeigen Sie dass [mm] \lim [/mm] f(x) genau dann für alle Häufungspunkte [mm] x_0 \in [/mm] D existiert wenn f gleichmäßig stetig ist. |
Ich kann die richtung "<=" relativ leicht zeigen also das aus der gleichmäßigen Stetigkeit die existenz der limiten folgt aber die andere richtung macht mir noch zu schaffen, wäre über jeden Tipp froh.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Mi 16.12.2020 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]D\subset \IR[/mm] beschränkt und nichtleer. Weiters sei
> [mm]f\colon[/mm] D [mm]\to \IR[/mm] eine Abbildung.
> Zeigen Sie dass [mm]\lim[/mm] f(x) genau dann für alle
> Häufungspunkte [mm]x_0 \in[/mm] D existiert wenn f gleichmäßig
> stetig ist.
> Ich kann die richtung "<=" relativ leicht zeigen also das
> aus der gleichmäßigen Stetigkeit die existenz der limiten
> folgt aber die andere richtung macht mir noch zu schaffen,
> wäre über jeden Tipp froh.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Sei $H(D)$ die Menge der Häufungwerte von $D$ und $K:=D [mm] \cup [/mm] H(D).$
Zeige: $K$ ist kompakt.
Wie setzen $f$ durch $F:K [mm] \to \IR$ [/mm] wie folgt fort:
ist [mm] $x_0 \in [/mm] H(D) [mm] \setminus [/mm] D$, so sei $F(x):= [mm] \lim_{x \to x_0}f(x).$
[/mm]
Zeige: $F$ ist auf $K$ stetig.
Kommst Du nun weiter ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mi 16.12.2020 | | Autor: | hadamard |
Ok also wenn ich zeige, dass K=H(D) [mm] \cup [/mm] D kompakt ist und F auf K stetig ist folgt das F gleichmäßig stetig ist. Jetzt fehlt mir noch dass die Einschränkung von F auf D gleichmäßig stetig ist oder?
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Hiho,
> Jetzt fehlt mir noch dass die Einschränkung von F auf D gleichmäßig stetig ist oder?
Ja, aber das ist doch trivial.
Schau dir mal die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit an und dann verrätst du mir, warum.
Gruß,
Gono
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